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裴蜀定理

数学定理

在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理，裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。

简介
裴蜀定理（或贝祖定理）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。
它的一个重要推论是：a,b互质的充分必要条件是存在整数x,y使ax+by=1.
证明
证法一：
设则。由整除的性质，，有d|(ax+by)。
设s为ax+by最小正值，令，则,。
可见也为的线性组合。
由于为所得,所以。
由于为线性组合的最小正值,可知。
因此有,同理，因此，s是a与b的公约数，所以ds......①。
因为d|a，d|b，且s是a与b的一个线性组合，所以由整除性质知d|s。
但由于d|s和s0，因此ds......②。
由①②得d=s，命题得证
证法二：
⑴若b=0，则(a,b)=a.这时定理显然成立。
⑵若a,b不等于0.
记d = (a, b), 对ax + by = d，两边同时除以d，可得(a1)x + (b1)y = 1，其中(a1,b1) = 1。
转证(a1)x + (b1)y = 1。由带余除法：
① (a1) = (q1)(b1) + (r1), 其中0＜r1＜ b1
② (b1) = (q2)(r1) + (r2), 其中0＜r2＜r1
③ (r1) = (q3)(r2) + (r3), 其中0＜r3＜r2
.....
④ (rn-4) = (qn-2)(rn-3) + (rn-2)
⑤ (rn-3) = (qn-1)(rn-2) + (rn-1)
⑥ (rn-2) = (qn)(rn-1) + (rn)
⑦ (rn-1) = (qn+1)(rn) + 1
故，由⑦和⑥推出(rn-2)An-2 + (rn-1)Bn-1 = 1
再结合⑤推出(rn-3)An-3 + (rn-2)Bn-2 = 1
再结合④推出(rn-4)An-4 + (rn-3)Bn-3 = 1
.....
再结合③推出(r1)A1 + (r2)B2 = 1
再结合②推出(b1)A0 + (r1)B0 = 1
再结合①推出(a1)x + (b1)y = 1
得证。
不定方程 例题：求不定方程的整数解.
解：是方程的一组整数解.
∴
n个整数间的裴蜀定理
设a1,a2,a3......an为n个整数，d是它们的最大公约数，那么存在整数x1......xn使得x1*a1+x2*a2+...xn*an=d。
特别来说，如果a1...an存在任意两个数是互质的（不必满足两两互质），那么存在整数x1......xn使得x1*a1+x2*a2+...xn*an=1。证法类似两个数的情况。
任意主理想环上的情况
裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环A是主理想环，a和b 为环中元素，d是它们的一个最大公约元，那么存在环中元素x和y使得：
ax + by = d
这是因为在主理想环中，a和b的最大公约元被定义为理想aA + bA的生成元。
定理
在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：
ax + by = m
有解当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解x、y都称为裴蜀数，可用辗转相除法求得。
例如，12和42的最大公因子是6，则方程12x + 42y = 6有解。事实上有（-3）×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1) × 42 = 6。
特别来说，方程 ax + by = 1 有解当且仅当整数a和b互素。
裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：d其实就是最小的可以写成ax + by形式的正整数。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。
发展历史
历史上首先证明关于整数的裴蜀定理的并不是裴蜀，而是17世纪初的法国数学家克劳德-加斯帕·巴歇·德·梅齐里亚克。他在于1624年发表的著作《有关整数的令人快乐与惬意的问题集》第二版中给出了问题的描述和证明[1]。
然而，裴蜀推广了梅齐里亚克的结论，特别是探讨了多项式中的裴蜀等式，并给出了相应的定理和证明[2]。
整数中的裴蜀定理
对任意两个整数a、b设d是它们的最大公约数。那么关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：
ax + by = m
有整数解（x,y）当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。
裴蜀定理参见
理想 （环论）
欧几里德整环
欧几里德引理
主理想环
整除
参考来源
^ 原版的网上版本（法文）
^ 证明的网上版本（法文）
闵嗣鹤、严士健，初等数论，高等教育出版社，2003。
唐忠明，抽象代数基础，高等教育出版社，2006。
Algebraic curves ，2008版，Chapter5.3。
推广
以上定理可推广到n个，n≥2
如1st IMO 1959第1题：证明对任意自然数n，（21n+4）/（14n+3）为既约分数。证明：很容易看出3（14n+3）-2（21n+4）=1，由裴蜀定理，21n+4与14n+3互质，故（21n+4）/（14n+3）为既约分数。Q.E.D.
另如：5x+4y+3z可表示全部整数.因为3，4，5互质，所以5x+4y+3z可以等于1，则必定可以等于其他任意整数。
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