解直角三角形

数学名词

在直角三角形中，除直角外，还有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。解直角三角形需要除直角之外的两个元素，且至少有一个元素是边。

元素概念

由直角三角形除直角外的已知元素，求出所有未知意思元素的过程，叫做解直角三角形。

公式意义

在没有引入三角函数之前，平面几何通常只能讨论边与边、边与面积、面积与面积、角与角之间的数量关系，却无法讨论角和边、角和面积之间的数量关系。如果我们能够讨论角和边之间的数量关系，然后讨论边与面积之间的数量关系，我们就可以讨论角与面积之间的数量关系。对于角和边之间的定量关系，虽然我们有诸如“30°的角所对的直角边为斜边的一半”这样的定理，再用勾股定理也可以求出60°的角所对的直角边为斜边的(根号3)/2倍，但这些都仅仅是针对“特殊值”加以讨论，从而很难推广到一般情况（任意值）的讨论。

由平面几何知识可知，已知三角形的邻边a，b及其夹角C，根据“边角边定理”，第三边c完全确定。从而，理论上我们可以利用带有a，b，C的表达式来表示c。如何给出这个具体的表达式？

根据相似三角形的性质，我们有：若两个三角形对应角相等，则两个三角形相似，于是它们的对应边成比例，反过来也成立。特别地，对于直角三角形，同时满足特定的三边关系（勾股定理）与两内角关系（两个锐角之和等于90°）。这样的话，我们只要知道直角三角形中任一锐角的大小，其三边中任意两条边的比例就是确定的数字。于是，我们可以考虑引入一整套运算，用来表示任意形状的直角三角形所满足的边与角的关系，这是引入锐角三角函数最初的动机。

数学上，通过定义三角函数，从而可以用含有角的表达式来表示边。解直角三角形，其实就是利用锐角三角函数来表示任意直角三角形中边与角的数量关系，于是可以求解出直角三角形中三边的长度和两个锐角的大小。

解直角三角形，使许多特定几何问题的求解得以数量化。只要我们可以用式子表示出直角三角形边和角（或者边和面积）之间的数量关系，然后进行锐角三角函数的运算或变形，就可以求解或者证明一些几何问题，从而避免许多繁琐的辅助线。并且，如何作辅助线并没有一套通用的方法，需要因题而异。对于某些特定条件的题目，作辅助线需要很高的洞察力。

三角函数在物理学、工程、技术等领域也有广泛的应用。直接用含有角度的公式来表示相关的物理参量，通常会很方便，具有较高的可实践性与可操作性，进而针对许多具体的物理量只需一个公式就可以求解。

特殊函数

(资料来源《数学》)

上表为部分角度，其它角度可以使用计算器计算。

三角函数

在Rt△ABC中，设∠C为直角，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则定义如下四个三角函数：

sinA＝a/c，cosA＝b/c，tanA＝a/b，cotA＝b/a。

互余角的三角函数值之间的关系

若∠A＋∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA。

同角的三角函数值之间的关系

①sin2A＋cos2A＝1，

②tanA＝sinA/cosA，