赋值论

域论的分支

赋值论(valuation theory)是域论的一个重要分支。它是研究交换代数的一个工具。特别是在代数数论、分歧理论、类域论和代数几何中有极为重要的应用。

概念

赋值论(valuation theory)是域论的一个重要分支。它是研究交换代数的一个工具。特别是在代数数论、分歧理论、类域论和代数几何中有极为重要的应用。通常的赋值可分为加法与乘法赋值两类，有时简称赋值。从赋值出发，可以给原来的域一个拓扑结构，使之成为拓扑域。赋值理论肇始于屈尔沙克(Kiirschak,J.)于1913年发表的论文。赋值、赋值域这些名称都是他首先引人的。其后，经过奥斯特洛夫斯基(Ostrowski,A. M.)等人的工作，解决了屈尔沙克在论文中提出的问题，并发展了这一理论。1932年，克鲁尔(Krull , W.)发表了题为《一般赋值理论》的基本论文，从而奠定了赋值论这一分支的基础.时至今日，赋值理论已逐渐越出了“域”的界限，在许多代数结构上，例如群、环、向量空间等，也用多种方式引进赋值，并由此对这些结构作算术理论的研究。此外，赋值论还渗人泛函分析的领域，发展了所谓非阿基米德泛函分析。

域论

域的概念最初被阿贝尔和伽罗瓦隐含地用于他们各自对方程的可解性的工作上。

1871年，理查德·戴德金将对于四则运算封闭的实数或复数集称为“域”。

1881年，利奥波德·克罗内克定义了“有理域”（英文：domain of rationality，德文：Rationalitäts-Bereich），相当于今称之数域。

1893年，安里西·韦伯给出抽象域的首个清晰定义。

1910年，施泰尼茨于1911年发表了论文《域的代数理论》（英文：Algebraic Theory of Fields、德文：Algebraische Theorie der Körper）。论文中他以公理化的方式研究了域的性质并给出了多个域的有关术语，比如素域、完全域，和域扩张的超越次数。

虽然伽罗瓦并未提出域的概念，但一般被誉为是首个将群论和域论连系起来的数学家，伽罗瓦理论便以他命名。事实上，埃米尔·阿廷在1928至42年间才将群和域的关系大大地发展。

交换代数

在抽象代数中，交换代数旨在探讨交换环及其理想，以及交换环上的模。代数数论与代数几何皆奠基于交换代数。交换环中最突出的例子包括多项式环、代数整数环与p进数环，以及它们的各种商环与局部化。

由于概形无非是交换环谱的黏合，交换代数遂成为研究概形局部性质的主要语言。

作为代数几何的代数工具，还需要比交换环更进一步的代数结构，这就是「环上的代数」。A称为环R上的代数（或简称为R代数），是指：①(A,+ ,·)为环，②（A，+）为R 模，③对於每个r∈R，α、b∈A，r(αb)=(rα)b=α(rb)。若A又是交换环，则称A为R上的交换代数。R上的交换代数A称为有限生成的，是指存在有限个元素，使得。　设k为域，为多项式环，是R 的商域。着名的希尔伯特第14问题是对於k和E的每个中间域l，l∩R作为k代数都是有限生成的。利用不变数理论，日本数学家中田於20世纪70年代举出反例，否定了希尔伯特这个猜想,虽然这个猜想在n=1时是正确的。

设k是代数封闭域，kn中代数簇V对应着的根式理想U，则V的仿射坐标环是k上有限生成的交换代数，并且没有非零的幂零元素。反之，k上每个这种类型的交换代数均是k上某个代数簇的仿射坐标环，并且从代数簇V到代数簇W的多项式映射诱导出k[W]到k[V]的k代数同态。从而V和W同构(即存在互逆的两个多项式映射)的充分必要条件是k[W]和k[V]作为k代数是同构的。於是，k上代数簇的同构分类相当於一种特殊类型的k上交换代数的同构分类。

人物简介

屈尔沙克

屈尔沙克(Kiirschak, Jozsef,1864-1933)匈牙利数学家。生于匈牙利的布达(Buda)，卒于布达佩斯。1886年毕业于布达佩斯工科大学，1890年获博士学位。此后一直在该校任教，1900年成为教授.1914年被选为匈牙利科学院院士。

屈尔沙克为赋值论的建立做出了贡献，利用“赋值”成功地推广了绝对值的概念，证明了任何赋值域能靠添加新元素而扩充为一个代数封闭的“完全”域。在变分学中，他研究了微分方程在切触变换下的不变性；给出了二阶微分表达式属于多重积分变分的微分方程的充分必要条件。屈尔沙克培养了许多学生，有些学生后来成了优秀的数学家或物理学家，冯·诺伊曼(von Neumann , J.)就是其中的一个。

奥斯特洛夫斯基

瑞士数学家。生于俄国基辅，卒于瑞士卢加诺。早年就读于德国马尔堡，后转到格丁根大学，曾做过克莱因(Klein，(C.)F.)的助手，1920年获博士学位。1921—1922年任教于汉堡大学和格丁根大学，后到英国牛津大学和爱丁堡大学做研究工作，1927年被聘为瑞士巴塞尔大学教授，1958年退休。

奥斯特洛夫斯基的工作涉及纯粹数学和应用数学的多个分支，并做了许多有深远影响的贡献。他在博士论文中解决了与希尔伯特第18问题有关的问题。他在赋值理论、埃尔米特矩阵、ζ函数、拟解析函数和函数方程与函数不等式等方面都做过基础性工作。他在1929年得到了“每一个可加的，在正测度集的一边有界的实函数是线性函数”的结果，该结论至今尚未有实质性改进。20世纪30年代后期和50年代，他的研究工作转向了数值计算，工作涉及到数值保形映射、矩阵方程理论和矩阵计算等。他在迭代过程、稳定性和巴拿赫空间中方程的“数值”解等方面曾做过基础性工作。著作有《方程与方程组的解》(1960)，第二版改成了《欧几里得与巴拿赫空间中的方程解》(1973)。他所撰写的论文全部收入了他的《数学文集》(1—6，1983—1985)中。

克鲁尔

德国数学家。生于巴登—巴登(Baden—Baden)，在波恩工作。他是E.诺特、阿廷所创立的德国代数学派的代表人物，对诺特环和一般交换环论的发展做出了重要贡献。1926年，他建立了带算子阿贝尔群和群的线性表示两个概念的关系，这一问题后来为E.诺特进一步发展。1928年，他发展了无限伽罗华扩张理论，建立了以他的名字命名的克鲁尔拓扑。同年他还把有限半单模的一般理论推广到任意半单模上。后来，他又引进了局部环的理论。在交换环理论中，有著名的关于克鲁尔有界本原环的理想的定理，整环R叫作克鲁尔环，诺特环理论中，有克鲁尔交定理、高度定理，等等。1932年以后开始研究一般赋值论及局部环理论。主要专著有《理想理论》(Idealtheorie，1935;1968第2版)等。

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