起作用约束

在某可行点处使不等式约束成为等式的约束

起作用约束(active constraint)亦称紧约束或积极约束，是指在某可行点处使不等式约束成为等式的约束。对于可行点x'，当gi(x')=0时点x'处于这个约束形成的可行域的边界上，起到了限制作用，故称这一约束为点x'处的起作用约束，等式约束对所有可行点都是起作用约束。

基本介绍

考虑非线性规划问题，假设不等式约束，，具有一阶连续导数。问题的可行域为，对于某些下标，点x的邻域限制了可行点的范围，即沿着某些方向稍微离开x点都将导致违背这些约束，这样的约束称为在点x处起作用约束。反之，对于约束，当点稍微离开x时，无论什么方向都不会违反约束，称为在点x处不起作用约束。

相关分析

对于一般的约束优化问题，其约束包含两类：

不等式约束 (1a)

等式约束 (1b)

在可行设计点处，对于不等式约束，如果有，则称第i个约束为

可行点的起作用约束；否则，有，则称为可行点的不起作用约束。显见，只有在可行域D边界上的点才有起作用约束，而且是该点所在边界约束自身；而所有各约束对可行域内部的设计点都是不起作用的约束。

对于式(1b)的等式约束，凡是满足该约束的任一可行点，该等式约束都是起作用约束。

由于约束优化问题的最优解不仅与目标函数有关，而与约束集合的性质也有关。在可行设计点处，起作用约束在该点邻域不仅起到限制可行域范围的作用，而且还可提供有关可行搜索方向的信息。又由于约束最优点x*，一般是发生在起作用约束上，则不起作用约束对求最优点的问题，就认为不产生任何影响，所以可看作是略去不起作用约束；而把注意力集中到设计点的起作用约束上，而把全部起作用约束当作等式约束问题求最优点处理。

约束条件

在优化设计中，目标函数取决于设计变量，而设计变量的取值范围都有各种限制条件。每个限制条件都可写成包含设计变量的函数，称为约束条件或设计约束。因为它是设计变量的函数，也称为约束函数。

约束函数可用等式或不等式描述。如果约束函数能够反映设计变量之间明显的函数关系，称为显式约束；否则，称为隐式约束。

等式约束是对设计变量的严格约束，起着降低设计自由度的作用，其形式为：

式中，，l为等式约束的数目，n为设计维数。

不等式约束，其形式为：

式中，，m为不等式约束的数目。

根据约束的性质，分为几何约束(边界约束)和性能约束。

几何约束：根据某种设计要求，设计变量必须满足的某些几何条件以及只对设计变量的取值范围加以限制的那些约束。

性能约束：指满足特定工作性能而建立的约束条件。

对于等式约束而言，设计变量所代表的没计点必须在式(2)所表示的面(或线)上，称为起作用约束或紧约束。对于不等式约束，极限情况所表示的几何面或线将设计空间分成两部分：一部分中所有设计均满足所有的约束条件，这部分空问称为设计点的可行域；另一部分所有点均不满足约束条件，称为设计点的不可行域。在可行域内的设计点，称为可行设计点，可行域也是可行设计点的集合。位于可行域边界上的设计点亦是可行点，过该点的约束为起作用约束，否则为不起作用约束；非可行域是不满足约束条件设计点的集合。

如图1所示的某二维优化设计问题，包含四个不等式约束和一个等式约束。图中，分别表示了可行域、不可行域、可行点、不可行点、起作用约束和不起作用约束。

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