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超几何分布

统计学上一种离散概率分布

超几何分布是统计学上一种离散概率分布。它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。

定义
产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，即不合格率。
在产品中随机抽n件做检查，发现k件不合格品的概率为，k=t，t+1，…，s。其中s是M与n中的较小者，t在n不大于合格品数（即n≤N-M）时取0，否则t取n减合格品数之差（即t=n-(N-M)）。
亦可写作（与上式不同的是M可为任意实数，而C表示的组合数M为非负整数）
为古典概型的组合形式，a为下限，b为上限，此时我们称随机变量X服从超几何分布（hypergeometric distribution）。
需要注意的是：
（1）超几何分布的模型是不放回抽样。
（2）超几何分布中的参数是N,n,M，上述超几何分布记作X~H(N,n,M)。
应用
示例
已经知道某个事件的发生概率，判断从中取出一个小样本，该事件以某一个机率出现的概率问题。
例：在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中摸出5个球。摸到至少4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？
解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型。
其中N = 30. D = 10. n = 5.
P（一等奖） = P(X=4) + P(X=5)
由公式 ,k=0,1,2,...得：
P（一等奖） = 106/3393
期望
定理：对超几何分布X~H(N,M,n) ，随机变量X的数学期望 .
引理一：
引理二：
引理证明：它们均可用恒等式（1+x）M-1(1+x)N-M=(1+x)N-1两边的展开式中含xn-1项的系数相等证明。仅以（2）中n≤M的情形证明如下：的展开式中含xn-1项的系数为（注意N-M）
定理证明：当M=N=1时，X的分布列P（X=1）=1，且有n=1，可得此时欲证成立。
当M=1，N≥2时，X的分布列为：
所以（引理一(2)）
下证M≥2时也成立，又分两种情形：
（1）又当n≤N-M时，X的分布列见超几何分布的定义有
（2）又当n＞N-M时，X的分布列见超几何分布的定义有
因此定理获证
方差
对X~H(N,M,n)， .
证明：D(X)=E(X2)-E(X)2 （此公式利用定义式简单展开即得）
（提取，变形）
（拆项，变形）
（拆开∑，就是分组求和）
（化简即得）
超几何分布和二项分布的联系
（1）在超几何分布中，当 时， （二项分布中的p）。
（2）当 时，超几何分布的数学期望
（3）当时，超几何分布的方差（二项分布的方差）。
（4）当时，超几何分布近似为二项分布。
函数代码
超几何分布计算函数
function HYPGEOMDIST(kkk,n,MM,NN)
for k=kkk to n
AA=1
BBA=1
BBB=1
lll=n
for i= 0 to k-1
BBA=BBA*(MM-i)/(NN-i)
next
for j= k to n
BBB=BBB*(NN-MM-j+k)/(NN-j)
next
BBs=BBB*BBA
if lll-k>k then
x=K
Else x=lll-k
end if
for i=1 to x
lll=lll-1
next
HYPGEOMDIST=HYPGEOMDIST+BBS
next
end function
response.write HYPGEOMDIST（200,2200,1000,17000)
%>
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