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轨道空间

一类特殊的商空间

轨道空间(orbit space)是一类特殊的商空间，若G是拓扑群，X是拓扑空间，G中每一元素g诱导一个从X到自身的同胚映射，x↦g(x)，其中x∈X，对于任意g，h∈G，满足h°g(x)=h[g(x)]，对于群G中单位元e满足e(x)=x，并且由(g，x)↦g(x)定义的G×X到X的映射是连续映射，则称G为X的拓扑变换群。对于X中的点x，称子集O(x)={g(x)|g∈G}为通过点x的轨道，所有轨道的集合{O(x)|x∈X}构成X的一个分解(实际上，X中两点x，y属于同一轨道这一关系是一等价关系)。由这个分解得出的商空间记为X/G，称为轨道空间。例如，取拓扑群Z为具有离散拓扑的整数加群，R1为实数空间，对于每一个n∈Z取从R1到自身的同胚为平移，x↦x+n，这时得到的轨道空间R1/Z是圆周S1。

定义
若G如同一个同胚群而作用于拓扑空间X，则对于每个 ，集合 称为x的轨道，记为 。
很显然，对于任意两个点 ，要么 ，要么 。因此所有的轨道实际上给出了空间X的一个划分，在商拓扑下为商空间(即把每个轨道粘合成一个点的粘合空间)，称为该作用的轨道空间，记为 。
性质
如果对于任意两个点 ，都存在一个 使得 ，则称G在拓扑空间X的作用是传递的，显然，此时 ，因此 是单点空间。
拓扑群
定义1 一个群G称为拓扑群，如果它同时也是一个豪斯多夫空间，并且G上的乘法运算与求逆运算
都是连续的。
定义2 如果G和H是两个拓扑群，设G×H表示两个群的直积，带上积拓扑，则G×H也是一个拓扑群。
定义3 设G是一个拓扑群，称G如同一个同胚群而作用于拓扑空间X，是指G的每个元素g都诱导一个同胚 ，并且满足下列条件：
(1) ；
(2) 若 为单位元，则e诱导恒同同胚，即 ；
(3) 映射 连续。
举例分析
例1 (1)考虑无限循环群 在 上的如下作用：
容易验证，其轨道空间 。
(2) 设n≥2，考虑正交群 ，在线性代数中我们已经知道，每个 都确定了 中的一个线性变换 ，这个线性变换保持欧氏度量。特别地，把单位向量映射为单位向量。因此每个 诱导了 的一个自同胚。并且容易看出，映射
是连续的。因此， 如同一个同胚群作用于球面 上。由Schmidt正交化方法不难看出，这个作用还是可迁的，因此轨道空间 只有一个点。
(3) 考虑群 在平面 上的作用： ，定义一个同胚
容易验证，上述对应确实给出了 在平面 上的一个作用。由(1)可知，其轨道空间是两个圆周的积空间。而且不难看出，平面上每个边长为1的正方形都包含了每个轨道中的点，并且正方形的对边在轨道空间中显然被同向地粘合在了一起，因此又有。
(4)考虑剩余类群在n-维球面上的作用：不妨记，其中0为单位元，而1为生成元。定义两个同胚；
就是恒等同胚，就是对径映射，也是同胚。则不难验证，上述定义给出了在n-维球面上的一个作用，其轨道空间正是粘合的对径点而得到的n-维射影平面。
(5) 设p，q是两个互质的整数，把3-维球面看做2-维复空间内的单位球面，即
设的生成元为，定义在上的作用如下：
(几次复合)．
则不难验证，这确实给出了一个群作用，其轨道空问称为透镜空间，记为。
定理 如G一个同胚群而作用于单连通空间X，并且对于每个点，都存在使得，则。
利用这个定理，我们也可以得到下面几个结论
例2 由于及都是单连通的，因此由例1可知，
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