辅助变量

在抽样调查中需要用到的变量

辅助变量是在抽样调查中需要用到的一个变量。在抽样调查中，变量按具体作用可分为调查变量和辅助变量两种。

分类

辅助变量就其性质而言可分为以下几类：

1、反映总体结构的信息。如总体抽样单元按调查指标取值差异程度可分为若干层，各层的构成及其在总体中所占比重等信息就是反映总体结构的。

2、规模的信息。如在总体分为不同级别的抽样单元时，要知道某一级别抽样单元数目，就可以用它所包含的下一级别抽样单元的数目或其它度量值来表示这一抽样单元的规模或大小。

3、是与所调查指标有密切关系的辅助指标的信息。例如在对居民消费支出情况进行调查时，居民可支配收入就是一个与支出有着高度相关性的辅助指标，这种辅助指标的信息可以是总体的，也可以是抽样单元和样本的。

4、调查指标的相关历史信息。例如，在一些经常性的抽样调查中，常取上期调查指标作为现期调查指标的辅助指标，有时也可用同一调查项目的近期普查指标作为现期抽样调查指标的辅助指标，这时辅助指标提供的信息就是调查指标的历史信息。

作用

辅助变量的作用主要体现在两个方面：一是改进抽样方法，提高样本对总体的代表性。二是改进估计方法，缩小估计误差，提高估计精度。对于第一个方面主要有以下三种作用方式。

1、辅助变量在分层抽样中的作用。

分层抽样是在实际工作中使用频率较高的一种抽样方法，分层抽样的效率主要取决于总体层内的方差与层间的方差。利用辅助变量对总体进行分层可以有效地缩小层内的方差，扩大层间方差。降低总体层内方差与层问方差的比值，从而大大提高抽样估计的效率。

2、辅助变量在系统抽样中的作用。

对称等距抽样适用于对线性趋势总体的抽样设计，但我们在实际工作中所面对的总体大多是非线性的，利用辅助变量对研究总体排序，可以把非线性的总体线性趋势化，在此基础上实施对称等距抽样是提高抽样效率的一种有效方法。

3、利用辅助变量比例作为抽样单元的抽取概率，实施不等概率抽样。

特别是以群作为抽样单位的不等概率抽样，可以有效的消除等概率整群抽样的“数水平效应”和“比率数变异度效应”，提高整群抽样的效率。利用辅助变量可以实施不等概率抽样，以改进抽样设计。

对于第二个方面也有较常见的应用，例如，利用辅助变量建立比率估计量和回归估计量。对总体均值或总值构造比率或回归估计量，是从估计环节改善抽样设计的重要手段，但这两种估计方法都需要有相应的辅助变量，并且需要获得辅助变量的总体均值或总值。此外，除了以上两种辅助变量作用以外，有时还可以利用辅助变量对抽样调查中的缺失数据进行处理。

利用辅助变量进行抽样设计可以大大提高估计的精度，所以在抽样设计之初，应着重考察有没有辅助变量的资料可供选择利用，并进一步考虑怎样利用效果更好。

使用

利用辅助变量进行抽样设计有两种目的：一是用于改进抽样方法，二是用于改进估计量。那么在抽样调查中，由于估计量和抽样方法的不同，对辅助变量就要分情况进行使用。

1、利用辅助变量对总体进行分层

分层抽样是实际工作中使用频率较高的一种抽样方法，适用于辅助变量有两个或两个以上的情形。分层抽样的效率主要取决于总体层内方差与层间方差的比值。利用辅助变量对总体进行分层，可以有效的缩小层内方差，扩大层间方差，降低总体层内方差与层间方差的比值，从而大大提高抽样估计的效率。利用这种方法可以确定最优分层的分点，使得在同样情况下目标量估计的方差最小。

2、利用辅助变量对总体单元排队，然后进行系统抽样

这是按有关标识排队的系统抽样。由于系统抽样的精度取决于样本内方差，系统样本内方差愈大，则目标量估计的方差愈小。而按辅助变量排队可把非线性总体线性趋势化，在此基础上实施系统抽样可以提高所获得系统样本内方差，从而提高精度。这种方法的操作简单、方便，效果一般比较理想，缺点是估计量的方差估计比较困难，而且由于排队只是利用了辅助变量大小顺序的信息，因此信息利用并不很充分。

3、利用辅助变量进行不等概率抽样

不等概率抽样，特别是以群单位作为抽样单位的不等概率抽样，可以有效地提高整群抽样的效率。在利用辅助变量进行不等概率抽样时，实际工作者常采用以下两种方法：放回PPS抽样与PPS系统抽样。前者抽样、估计量及其方差估计都极其简单，但精度稍差；而后者作为一种系统抽样，方差估计较为困难。

4、利用辅助变量建立比率估计量、回归估计量对总体均值或总值构造比率或回归估计量，是从估计环节改善抽样设计的重要手段。

但这两种估计方法都需要有相应的辅助变量，并获得辅助变量的总体均值或总值。比估计与回归估计通常都是极为有效的，当辅助变量与调查指标高度相关时．尤其如此。它的一个很大优点是可用于多指标情形，在此情况下不同指标值常采用不同的辅助变量。比估计或回归估计的缺点主要是计算较为复杂，而且估计量是有偏的。不过当样本量比较大时，估计量的偏倚并不大。在大样本情形下，偏倚在总的机样误差中相对于方差只占其中很小一部分。

5、利用辅助变量进行事后分层。

有时侯事先分层有困难，缺乏层的抽样框，就不能进行分层抽样，得不到分层样本。如果此时又想利用分层抽样在提高精度上的好处以及可以得到每个子总体的估计，就必须采用事后分层技术。采用事后分层的前提之一是层权可以通过某种途径获得，从而是已知的。事后分层对辅助信息的需求较小，它不需掌握总体每一单位的信息，只需了解某种汇总信息；因此费用较低而效果较差，并且如果事后分层分得过多，就不再有效了。

选择

在抽样设计之初，应着重考察有没有辅助变量的资料可以利用，并进一步考虑什么变量可以作为辅助变量，哪些辅助变量较好，如何从众多的变量中选择合适的辅助变量。

1、获取辅助变量的途径

1)历史资料

统计调查一般都采用周期性的普查与经常性的抽样调查相结合的方法。周期性的普查为两次普查期间的抽样调查提供了大量的历史资料，它包括调查变量本身的历史资料和与调查变量相关的其他变量的历史资料，这些资料一般具有获取成本低、数据准确度高，与研究变量具有较高的相关关系等优点。

2)现期相关资料

有的研究变量具有同一时期的相关资料。比如，派出所一般有管辖区域内比较齐全的人口统计资料；工商行政管理部门有管辖区域内比较齐全的企业注册登记资料等。这些资料与许多变量之间有相关关系，可以作为抽样设计中研究变量的辅助变量。

3)试验性调查

如果没有总体资料可供利用，可以考虑采用试验性调查，以取得抽样设计所需要的辅助变量数据。试验性调查的样本既可以用概率抽样方法抽取，也可以用非概率抽样方法抽取。

4)二重抽样

如果没有方便的辅助变量，也可考虑利用二重抽样技术。先从总体中抽取一个相对比较大的简单随机样本，用以估计辅助变量。然后，把这个样本作为一个小总体，在进行需要的辅助变量的抽样设计。在总的调查费用一定的情况下，抽取并调查第一重样本当然要耗费一部分费用，于是便不得不减少第二重样本的样本量。第一重样本耗费费用的目的在于获取辅助变量的信息以便提高第二重样本的估计精度；第二重样本由于不得不减少样本量也会造成估计精度的损失。二者相比较，只有前者在提高精度上的得益超过了后者在降低精度上的损失，采用二重抽样技术才是有意义的。

2、选择辅助变量的原则：最佳效果原则

抽样调查有一个投入产出问题，投入的是调查经费，产出的是总体指标的估计值，并用抽样精度来衡量。这样，最佳效果原则就可分解为最高抽样精度原则和最低调查经费原则两个方面。

前者要求在选择辅助变量时，要考虑使选择的辅助变量与抽样和估计方法的要求相适应，以便能达到最高抽样精度。这是因为不同的抽样和估计方法对辅助变量与研究变量之间的关系有不同的要求，比如，用于分层、回归估计的辅助变量要与研究的变量之间具有较高的线性相关关系；用于PPS抽样、比率估计的辅助变量要与研究变量之间具有比例关系。后者要求在选择辅助变量时，要考虑在给定的抽样精度条件下使所需的经费最低。这是因为不同的辅助变量，其数值的获取成本存在很大差异，有的辅助变量可能只要较少的费用就可以得到，有的辅助变量值却可能需要花费相当大的费用才能取得。而辅助变量是为提高估计精度而引入的变量，在调查经费一定的情况下，在辅助变量的调查上占用的费用越多，留给样本的调查费用就必然越少，这将会影响到样本容量。

辅助变量法

(auxiliary variable method)

辅助变量法亦称工具变量法。一种改进的最小二乘参数估计方法。

即设

其中 y(t) 是量测的，φ(t) 是回归向量，θ0 是待估参数向量（T 表示转置），v(t) 是相关噪声，则最小二乘估计

收敛不到真值θ。这种情形下，可以用一个辅助向量 z(t)，只要：

1、z(t) 与 v(t) 互不相关，即

2、矩阵可逆。

3、v(t) 的均值为零。

则可以证明，当时，辅助变量估计量

将趋于（即收敛与）真值θ0。

辅助变量法的关键在于如何构造一个满足上述条件的辅助变量，也就是说辅助变量应当与噪声 v(t) 不相关，而与φ(t) 强相关。因此常见的一种选择是有输入激励一个确定性的系统而产生的输出和输入组成，另一种是全都取延迟输入作为辅助变量。辅助变量法的基本思想是很可贵的，适当选择辅助变量，可以沟通与其他辨识方法的联系，因此在许多场合都可以用到它，当然还可有递推辅助变量法，它也得到广泛的使用。

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