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递推数列

数列名称

递推数列是可以递推找出规律的数列，找出这个规律的通项式就是解递推数列。求递推数列通项公式的常用方法有：公式法、累加法、累乘法、待定系数法等方法。

数列简介
首先数列的定义是：按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数列称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成.
简记为 。
通项公式：有些时候，数列的第项与项的序数之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列中数的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数. （需要注意的是，一些题目中可能会定义）
如果可以用一个公式来表示,则它的通项公式是.
数列分类
递推公式
递推公式：如果数列{a[n]}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
用递推公式表示的数列就叫做递推数列
比如等比数列可以表示为：
常见数列
等差数列
相关定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），等差数列可以缩写为A.P.。这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。
由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。
有关系：.
相关公式
通项公式
求和公式
Sn=(d/2)*n2+(a1-d/2)n
（求和公式的思想来源于首尾配对）
性质
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列，等等。
和=（首项+末项）×项数÷2
项数=（末项-首项）÷公差+1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2a2=a1+a3。
应用
日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。
等比数列
相关定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。
等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
有关系：G2=ab；G=±(ab)1/2
注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。
相关公式
通项公式
an=a1qn-1
an=Sn-S(n-1) (n≥2)
求和公式
当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)
相关计算
1.等比数列:
通项公式 an=a1*qn-1（a1：首项；an：第n项）
an=a1*qn-1,am=a1*qm-1
则an/am=qn-m
(1)an=am*qn-m
(2)a,G,b 若构成等比中项,则G2=ab (a,b,G≠0)
(3)若m+n=p+q 则 am*an=ap*aq
2.等比数列前n项和
设 a1,a2,a3...an构成等比数列
前n项和Sn=a1+a2+a3...an
Sn=a1+a1*q+a1*q2+....a1*qn-2+a1*qn-1
这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解。
Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) （q≠1）
Sn=na1 （q=1）
求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法（即数学归纳法） 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法
性质
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
性质：
①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
G是a、b的等比中项”“G2=ab（G≠0）
(5) 等比数列前n项之和Sn=a1(1-qn)/(1-q)
在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.
应用
等比数列在生活中也是常常运用的。
如：银行有一种支付利息的方式——复利。即把前一期的利息和本金价在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比数列的通项公式是：an=a1*qn-1
若通项公式变形为an=a1/q*qn(n∈N*),当q≥0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*qx上的一群孤立的点。
（2）求和公式：Sn=na1(q=1)
Sn=a1(1-qn)/(1-q)
=(a1-a1*qn)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*qn ( 即a-aqn)
(前提：q ≠ 1)
任意两项am，an的关系为an=am*qn-m
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1*an=a2*an-1=a3*an-2=…=ak*an-k+1，k∈{1,2,…,n}
（4）等比中项：aq·ap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1*a2…an，则有π2n-1=an*2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
等和数列
定义
“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
对一个数列，如果其任意的连续k（k≥2）项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列
性质
必定是循环数列
常见形式
an=Sn-Sn-1 （n≥2）
累和法（an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an）。
逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。
化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。
特别数
在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n
2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列
不动点法（常用于分式的通项递推关系）
不动点法求数列通项
对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求.
求解公式
下面将写出一些特定递推公式的基本方法，递推公式千变万化，重要的是汲取其中的思想。
1. 形如的方法
用累加法，即
2. 形如的方法
用累乘法，即
3. 形如的方法
此时发现，若定义,则有.
再用等比数列的知识，求出的通项公式，就有.
4. 特征根的应用
数列满足.
称其特征方程为.
若方程两根.
若方程两根.
注意,均为待定系数，由数列的初始值决定.
这个方法的证明略。
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