逗号范畴

范畴论概念

逗号范畴是范畴论中一种范畴。

前置概念
设C为范畴
b以下对象范畴(b↓C),对象为,态射为h:,其定义为h:c→c',h∘f=f'。即(b↓C)的对象为C的从b出发的态射,态射为以b为顶点的交换三角形。其中b,c,c'∈Ob(C),f:b→c,f':b→c'∈Mor(C)。态射复合可以由C中态射h的复合给出。
a以上对象范畴(C↓a),对象为,态射为h:,其定义为h:c→c',f=f'∘h。即(C↓a)的对象为C的结束于a的态射,态射为以a为顶点的交换三角形。其中a,c,c'∈Ob(C),f:c→a,f':c'→a∈Mor(C)。
S-b以下对象范畴(b↓S),对象为,态射为h:,其定义为h:d→d',Sh∘f=f'。其中S:D→C为函子,d∈Ob(D),f:b→Sd∈Mor(C)。
T-a以上对象范畴(T↓a),对象为,态射为h:,其定义为h:e→e',f=f'∘Th。其中T:E→C,e∈Ob(E),f:Te→a∈Mor(C)。
定义
给定一对函子,则逗号范畴记作(T↓S)或(T,S),为一个范畴:
其对象为,其中e为E中对象,d为D中对象,f:Te→Sd为态射
其态射为:,其中k:e→e',h:d→d',并满足f'∘Tk=Sh∘f。
相关概念
范畴C的对象c也能视为函子c:1→C。
设T为函子c:1→C,则有逗号范畴(c↓S);设S为恒等函子,则有逗号范畴(c↓C)。
设S为函子c:1→C,则有逗号范畴(T↓c);设T为恒等函子,则有逗号范畴(C↓c)。
泛态射为逗号范畴(c↓S)的始对象,泛态射为逗号范畴(T↓c)的终对象
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