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联结词

命题逻辑的基本概念

联结词亦称命题联结词，命题逻辑的基本概念之一，指由已有的命题构造出新命题所用的词语。例如，由命题“二加三等于五”和“苏格拉底是人”可以构造出新命题“二加三等于五并且苏格拉底是人”，在这里，“并且”是联结词，又例如，由命题“苏格拉底是人”可以构造出它的否命题“苏格拉底不是人”，在这个否命题中，“不”是联结词，最重要的联结词有否定“非”，合取“且”，析取“或”，蕴含“如果……则……”以及等价“当且仅当”。

简介
一个复合命题，不论其构成多么复杂，一般都可以分析出构成该命题的原子命题。下面介绍几种常用的逻辑联结词(Logical Connectives)，分别是“非”(否定联结词)、“与”(合取联结词)、“或”(析取联结词)、“若…则…”(条件联结词)、“…当且仅当…”(双条件联结词)，通过这些联结词可以把多个原子命题复合成一个复合命题。此外，还介绍了三种，分别是异或联结词、与非式、或非式。
否定联结词
定义1 设P为一命题，P的否定(Negation)是一个新的命题，记为(读作非P)。规定若P为T(真)，则 为F(假)：若P为F，则 为T。 的取值情况依赖于P的取值情况，真值表如表1所示。
在自然语言中，常用“非”、“不”、“没有”、“无”、“并非”等来表示否定。
例1 P：北京是中国的首都。 ：北京不是中国的首都。
P是真命题， 是假命题。
Q：所有的海洋动物都是哺乳动物。 ：不是所有的海洋动物都是哺乳动物。
Q为假命题， 为真命题。
合取联结词
定义2设P、Q为两个命题，P和Q的合取(Conjunction)是一个复合命题，记为 (读作P与Q)，称为P与Q的合取式。规定P与Q同时为T时， 为T，其余情况下， 均为F。
联结词“ ”的真值表如表2所示。
显然 的真值永远是假，称为矛盾式。在自然语言中，常用“既…又…”、“不但…而且…”、“虽然…但是…”、“一边…一边…”等表示合取。
例2 (1)今天刮风又下雨。
设P：今天刮风。Q：今天下雨。则(1)可表示为 。
(2)1+1=2且太阳从西方升起。
设P：1+I=2。Q：太阳从西方升起。则(2)可表示为 。
(3)张三虽然聪明但不用功。
P：张三聪明。Q：张三用功。则(3)可表示为 。
需要注意的是，在自然语言中，命题(2)是没有实际意义的，因为P与Q两个命题是互不相干的，但在数理逻辑中是允许的，数理逻辑中只关注复合命题的真值情况，并不关心原子命题之间是否存在着内在联系。
析取联结词
定义3 设P、Q为两个命题，P和Q的析取(Disjunction)是一个复合命题，记为 (读作P或Q)，称为P与Q的析取式。规定当且仅当P与Q同时为F时， 为F，否则 均为T。
析取联结词“ ”的真值表如表3所示。
显然 的真值永远为真，称为永真式。
析取联结词“ ”与汉语中的“或”二者表达的意义不完全相同，汉语中的“或”可以表达“排斥或”，也可以表达“可兼或”，而从析取联结词的定义可以看出，“ ”允许P、Q同时为真，因而析取联结词“ ”是可兼或。
例3 (1)小王爱打球或跑步。
(2)他身高1.8m或1.85m。
(1)为可兼或，(2)为排斥或。
设P：小王爱打球。Q：小王爱跑步。则(1)可表示为 。
设P：他身高1.8m。Q：他身高1.85m。则(2)可表示为 。
条件联结词
定义4 设P、Q为两个命题，P和Q的条件(Conditional)命题是一个复合命题，记为 (读作若P则Q)。其中P称为条件的前件，Q称为条件的后件。规定当且仅当前件P为T，后件Q为F时， 为F，否则 均为T。
条件联结词“ ”的真值表如表4所示。
在自然语言中．常会出现的语句如“只要P就Q”、“因为P所以Q”、“P仅当Q”、“只有Q才P”、“除非Q才P”等都可以表示为“ ”的形式。
例4 (1) 如果雪是黑色的，则太阳从西方升起。
(2) 仅当天气好，我才去公园。
对于(1)，设P：雪是黑色的。Q：太阳从西方升起。则(1)可表示为 。
(2)设R：天气好。S：我去公园。则(2)可表示为 。
双条件联结词
定义5 设P、Q为两个命题，其复合命题 称为双条件(Biconditional)命题， 读作P当且仅当Q。规定当且仅当P与Q真值相同时， 为T，否则 均为F。
双条件联结词“ ”的真值表如表5所示。
例5
(1)雪是黑色的当且仅当2+2>4。
(2)燕子北回，春天来了。
(1)设P：雪是黑色的。Q：2+2>4。则(1)可表示为 ，其真值为T。
(2)设R：燕子北回。S：春天来了。则(2)可表示为 ，其真值为T。
与前面的联结词一样，条件联结词和双条件联结词连接的两个命题之间可以没有任何的因果联系，只要能确定复合命题的真值即可。
异或联结词
定义6 设P、Q为两个命题公式，复合命题 称为P异或Q，又名不可兼析取、排斥或。规定 的真值为T，当且仅当P与Q的真值不相同，否则 的真值为F。真值表如下：
与非联结词
定义7 设P、Q为两个命题公式，复合命题 称为P和Q的“与非式”(Nand)。当且仅当P与Q的真值都为T时， 的真值为F，否则 的真值为T。
联结词“ ”的定义如表7所示。
或非联结词
定义8 设P、Q为两个命题公式，复合命题 称为P和Q的“或非式”。当且仅当P与Q的真值都为F时， 的真值为T，否则 的真值为F。联结词“上”的定义如表8所示。
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