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酉算子

数学术语

酉变换是泛函分析和算子理论中的一个重要概念，傅里叶变换就是酉变换之一例。酉算子又叫保范算子，它是欧式空间中旋转概念在无穷维情况下的推广；希尔伯特空间的酉算子是仍保持其内积意义的希尔伯特空间的线性变换。酉算子具有逆算子，其逆算子也是一种酉算子，且酉算子和其逆算子是一对共轭算子。n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是U矩阵；一个简单的充分必要判别准则是方阵U的转置共扼距阵乘以U 等于单位阵，则U是U矩阵。

定义
酉算子又叫保范算子，它是欧式空间中旋转概念在无穷维情况下的推广；希尔伯特空间的酉算子是仍保持其内积意义的希尔伯特空间的线性变换。酉算子具有逆算子，其逆算子也是一种酉算子，且酉算子和其逆算子是一对共轭算子。酉变换是泛函分析和算子理论中的一个重要概念，傅里叶变换就是酉变换之一例。
设，若满足：
（1）是等距的，即对任意，都有；
（2）是满射。
则称为酉算子。
各种条件
充要条件
设，则为酉算子等价于：
（1）是满射且对任意；
（2），即。
证明：
（1）充分性显然成立，下面证明必要性。
设为酉算子，即是满射且等距的，对任意，由极化恒等式得到下述等式：
当是实空间时，有：
当是复空间时，有：
故有。
（2）首先来证必要性。
设为酉算子，由（1）得，对任意的，有：，
所以得：；
故有：。
因此是单射，因而 存在，且有：。
下面来证充分性。
由等式为满射，且对，有：
故为酉算子。证毕。
必要条件
设为酉算子，则，即酉算子的谱都在单位圆上。
酉算子的等价形式
预备知识
在复变函数中，保角映射在理论和应用上都十分重要，而具有保角性和伸缩率不变性的映射即为保角映射，将此概念推广到无穷维空间，特给出如下定义：
设为线性算子，
（1）若算子满足，则称算子为保角算子；
（2）若算子满足，则称算子为相似算子；
（3）若算子满足，则称算子为第一型保正交算子；
（4）若算子满足，则称算子为第二型保正交算子；
（5）若算子满足，则称算子为正交不变算子；
（6）若算子满足，则称算子为酉算子，或保内积算子。
定理内容
设为Hilbert空间，为由到的线性算子，则关于算子的如下六个命题为等价命题：
（1）为保角算子；
（2）为相似算子；
（3）为第一型保正交算子；
（4）为第二型保正交算子；
（5）为正交不变算子；
（6）为酉算子。
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