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配边理论

数学术语

两个k维闭微分流形V，W称为配边，如果V，W一起构成（n+1）维有边缘流形的边缘。这个非常明显的概念首先是托姆在1954年的论文中提出来的。托姆对一般流形建立配边理论，对微分流形进行最粗的分类之后，流形的分类可以分两个方向进行：一是对于一般流形进行较为精细的分类，另一是沿着配边理论的方向，对更特殊类的流形做更为细致的分类。这后一方向，从托姆时起一直仿照着托姆的模式继续进行并取得重要的成就。到现在已经对20多种配边理论进行过研究。配边理论还有复配边理论、辛配边理论等，它们各有一些结果。

基本介绍
配边理论从直观上十分清楚。两个k维闭微分流形V，W称为配边，如果V，W一起构成(n+1)维有边缘流形的边缘。
这个非常明显的概念首先是托姆在1954年的论文中提出来的。这篇划时代的论文题目是“微分流形的某些整体性质”，实际上完成了流形在配边这个等价关系下的分类，在先不考虑定向的情况下，每一维的所有流形都可以根据它们是否配边来归类，相互配边的流形算作同一类。托姆创立了配边理论，他指出任何两个流形属于同一类的充分必要条件，从而完成了流形的粗分类的工作，然后他又对每一类找出一个代表，有了这些代表，任何一个流形就属于某一个代表的类了。
在托姆之前，数学家也曾考虑类似的问题。苏联数学家庞特里亚金和罗赫林，都曾经研究过更基本的问题：什么时候一个k维流形是一个(k+1)维流形的边缘?由于同调论的关键部分是边缘算子，因此他们把这种问题称为内在同调。这样的问题显然只是配边理论的一个特殊情形，而且产生不出配边等价类的结构，也出现不了微分流形的粗分类。从这种情形下看也可以看出托姆思想的伟大创造性。托姆的配边理论还有另外一个来源，就是一个微分流形的同调类能否被其子流形来表示。这是著名的斯廷洛德问题。托姆在他的研究中也给这个问题一个明确的回答：
可实现性定理 流形的同调类能用子流形来实现的充分必要条件是存在一个映射
使得成为Z的对偶。
这里的是以正交群为结构群的万有k维向量丛的托姆复合形，而流形X上一个向量空间丛的托姆复合形，就是把与相伴的k维闭圆盘丛中把其边缘所构成的(k-1)维球面丛缩为一点后所成的空间，这个空间称为托姆空间，由于它有CW复合形的同伦型，因此称为的托姆复合形。而
的生成元U称为的基本(上同调)类。
无定向配边理论
托姆在所有不考虑定向的流形中，引入一个等价关系，其相互配边的流形(同一维)构成一个等价类。n维闭流形等价类全体在加法之下构成阿贝尔群，其中加法为
么元(零元)就是本身是边缘的流形，而且两流形的拓扑积可定义乘法
于是直和
成为分次交换环(代数)，称为配边环或托姆代数。
托姆的工作完整地定出配边环的结构，他证明了下列结果：
(1)托姆基本定理
其中表示托姆空间的稳定同伦群，即当＞i 时，
这样，当一定时，与n无关，我们把它称为托姆谱的维稳定同伦群。这样求n的问题化为计算托姆谱的同伦群的问题。
(2)n的结构定理
即n为上的多项式代数，除外，每k维均有一生
成元，且每为实射影空间的配边类。
(3)配边的充分必要条件 两流形配边当且仅当其每个施蒂费尔-惠特尼示性数对应相等。
定向配边理论
定向配边理论的研究对象是所有定向流形的集合，其中所有流形都有两种定向。如果一种用 表示，另一种则用 表示，它们在这个集合中代表不同的元素。
两个 维闭流形 称为定向配边，如果存在一个 维可定向有边缘流形X，使得
这样，所有定向流形在这种等价关系之下形成等价类。定向配边等价类的集合同样可引入加法构成阿贝尔群 ，引进乘法构成分次反交换代数 ，称为定向配边环。
经过托姆、米尔诺(Milnor，John Willard，1931-) 和沃尔的研究， 的结构也完全决定。
托姆基本定理
其中 为旋转群的托姆谱。
结构定理
是Q上多项式环，
即每 维 各有一个生成元，这生成元为复射影空间的定向配边类 。
1960年，米尔诺证明 没有p分量，p为任意奇素数。同年，沃尔证明 的2分量中不含4阶元素。
设 为 中所有挠元构成的理想，则 为 上多面式环，以 为生成元，其中 可取为复 维非奇异代数簇。
定向配边不变量
两个定向闭流形定向配边当且仅当其所有的施蒂费尔-惠特尼示性数和庞特里亚金示性数对应相等。
的具体结构如下：
时，所有 均不等于0。
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