重言式

逻辑学名词

重言式（Tautology）又称为永真式，它的汉语拼音为：[Chóng yán shì]，是逻辑学的名词。命题公式中有一类重言式。如果一个公式，对于它的任一解释下其真值都为真，就称为重言式（永真式）。数理逻辑旨在利用有限的公理推出尽可能多的重言式，除此之外，重言式在计算机词法分析领域也具有重要应用。

定义

给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为T（True），则称该命题公式为重言式或永真公式。

显然由联结词∨、∧、→和联结的重言式仍是重言式。

一个公式，如有某个解释I0, 在I0下该公式真值为真, 则称这公式是可满足的。P∨Q当取I0 = (T, F)即P = T, Q = F时便有P∨Q = T, 所以是可满足的。重言式当然是可满足的。

另一类公式是矛盾式（永假式或不可满足的）。如果一个公式，对于它的任一解释I下真值都是假，便称是矛盾式。如P∧P就是矛盾式。

不难看出这两类公式间有如下关系:

1. 公式A永真，当且仅当永假。

2. 公式A可满足, 当且仅当非永真。

3. 不是可满足的公式必永假。

4. 不是永假的公式必可满足。

永真式与永假式互为否定式

相关定理

定理1：任何两个重言式的合取或析取，仍然是一个重言式。

定理2：一个重言式，对同一分量都用任何公式置换，其结果仍为一重言式。

定理3：设A,B为两个命题公式，A和B逻辑等价当且仅当双条件命题“A当且仅当B”成立。

定理4：设A,B,C为合式公式，若A蕴含B且A是重言式，则B也是重言式。

定理5：若A蕴含B，B蕴含C，则A蕴含C，即蕴含关系是传递的。

离散数学领域

重言式判定

在布尔代数中发现重言式的最简单的方法是使用真值表。但是，随着涉及到的变量的数目的增长，真值表的大小成 2 的幂次增长，这使它不利于四个或更多变量的重言式，这时简化和代数变得更有用。

在对命题逻辑代数化表示的基础上,通过解多项式方程组,对命题公式进行等价变换、演绎推理。用有理数域上的多项式组替代命题公式,利用纯代数的方法给出命题公式的重言式和矛盾式的证明。

代入规则

A是一个公式, 对A使用代入规则得公式B，若A是重言式，则B也是重言式。

为保证重言式经代入规则仍得到保持，要求:

1. 公式中被代换的只能是命题变元（原子命题）,，而不能是复合命题。

2. 对公式中某命题变项施以代入，必须对该公式中出现的所有同一命题变项代换同一公式。

重言式示例

离散例题

(p^(p->q))->q，证明其为重言式，利用真值表证明如下：

最后一列真值永为1，即说明此命题公式为重言式。

计算机领域

重言式作为即为逻辑词，在计算机领域具有广泛应用。在自然语言处理的词法分析领域，重言式经常被用作逻辑判断的准则。重言式在，计算机领域中也经常被推广为广义重言式，且其经常与离散数学中的二值逻辑模糊蕴涵算子结合使用，其在近年来已成功应用于模糊控制、近似推理、词计算、模糊图像处理等诸多领域,引起了学者们的广泛关注.其中,与蕴涵算子相关的广义重言式已经成为当前研究的热点.人们逐渐意识到广义重言式在模糊逻辑的理论及应用中发挥的重要作用。

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