门限回归模型

数学术语

门限回归模型(Threshold Regressive Model，简称TR模型或TRM)是汤家豪于1978年提出了门限自回归模型后进一步将这一思想扩展到回归模型中。门限回归模型的基本思想是通过门限变量的控制作用，当给出预报因子资料后，首先根据门限变量的门限阙值的判别控制作用，以决定不同情况下使用不同的预报方程，从而试图解释各种类似于跳跃和突变的现象。其实质上是把预报问题按状态空间的取值进行分类，用分段的线性回归模式来描述总体非线性预报问题。

门限回归模型的基本思想

预报对象y与预报因子集之间的一般门限回归模型形式为:

式中，称为门限变量，称为门限阈值。在各段回归方程中，入选的因子可以有所不同。

门限回归模型的基本思想是通过门限变量的控制作用，当给出预报因子资料后，首先根据门限变量的门限阙值的判别控制作用，以决定不同情况下使用不同的预报方程，从而试图解释各种类似于跳跃和突变的现象。其实质上是把预报问题按状态空间的取值进行分类，用分段的线性回归模式来描述总体非线性预报问题。在直观上此法可类比于用拆线分段逼近曲线，由于应用了分段线性化的思想，因此可以充分利用线性模式的处理手段。

门限回归模型的建模方法

如果我们已知门限变量和门限阈值，则根据门限变量值是否高于门限阈值来把样本资料分为K段，分别对每一段样本用线性逐步回归来建模即可。在作预报时，根据门限变量实时资料，首先判断其属于哪一段，然后再用该段回归模式代入预报因子实时资料即可作出预报。这些都是读者熟知的常规线性统计预报计算分析方法了。由此可见，对门限回归建模的关键是确定门限变量和门限阈值，这就是要重点讨论的问题。

根据门限回归模型的思路，当门限变量值高于或低于门阈值时，将有显著不同的预报关系。因而建模的步骤为：先找出门限变量和门限阈值，然后按此对样本分组，分段建立线性模式。门限变量的确定有两种情况，一种是基于对预报问题的物理分析，因果关系推断，指定某个变量为门限变量，另一种情况是当对预报问题的物理原因不清、完全依靠统计方法时，可采下面的方法。

我们先考虑只有一个门限阈值，即分为两段回归时的方法，然后再把它推广到一般。设有预报对象y和m个预报因子，取n个样本。从x中任取一个因子，找出样本中的最大值和最小值，求得的变化区间，在该区间内任给一个门限值记为，对每个样本，把时所有的x和y样本分作一组子样本，时所有的x和y样本分作另一组子样本，然后对这两组样本分别建

立回归方程，于是就建立了一个门限回归模型。穷尽所有可能的因子，即取：，对穷尽所有可能的分段，即对门阈值，在内，取尽所有可能的值，于是就可建立所有可能的门限回归模型，从中挑出效果最好的那一个，就是最优门限回归模型。

以上讨论的门限回归建模方法，在变量数和样本数很少时，是易于实现的。但当变量数和样本数较大时，其计算量就是一般微机难以完成的了。如果计算条件能充分满足，显然这种穷尽所有可能搜索的计算方案是可以建立最佳广]限回归模型的。但在计算条件不能充分满足的情况下，如何设计一些计算方案，在基于一定假设条件下，找到一个相对较好的门限回归模型，就是一个需要认真讨论的问题了。下面提供三种假设条件下的建模方案，供读者在实际工作中参考选用。

1.假设条件:门限变量和门限阈值是造成预报对象显著差异的主要因子。此时要找到这样的门限变量和门限阈值，当把预报对象分成两组时，两组预报对象间有最显著的差异，由此建立的门限回归模型，当预报关系发生改变时，预报对象有显著差异。此种情况下的计算方法为:

设有y和，取n个样本，从x中任取一个因子，把它的样本与y的样本列为下表:

找出的最大值和最小值，得出的变化区间，在该区间内给定一个门限初值，记为(上标0表示初值，下标i 表示第i个变量，括号(1)表示只有一个门限)。然后把

上表中凡满足 (j= 1,2...n)的那些预报对象样本挑出来，组成一组子样本，记为，其余作为另一组子样本，记为。用方差分析方法，求得和这两组子样本的差异显著性检验值，记为，然后运用一维搜索来不断调整门限初值，记为。按此法可不断对y重新分组计算两组样本的差异显著性检验值，记为，于是问题归结为:对门限值寻优，使达到最大，从而求得以作为门限变量时的最大显著性指标，记为相应的门限阈值记为。

对至每个因子都如此分析，于是求得每个因子的和，i=1,2,...,m，把它们排列如下：

从中挑出F的最大者，记为，其所对应的第j个因子，就是所求得的门限变量，相应的为门限阈值。显然，它满足对门限变量原理假设：即在所有m个自变量中，可使模型预报关系及y有最大差异的那个变量。

对门限变量及门限阈值的求法，不限于这里介绍的方差分析方法，还可运用其他方法，如最优分割法等。

找出门限变量xj和门限阈值后，下一步就是把预报对象和预报因子样本资料

按门限因子和门限阈值把满足(k = 1,2..,n)的那些预报对象和预报因子样本挑出来，组成一组子样本，其余作为另一组子样本，然后分别对这两组子样本作线性逐步回归，求得二段门限回归模式为:(式中，未入选因子的系数)

这一建模方法不难推广到分为L段的多元门限归模型，现把建模方法简述如下:

(1)对因子，找出最大值和最小值，在其变化区间内取L个分点，把y划分为L组，记为。运用方差分析方法，求得这L组的差异显著性检验值，记为。

(2)对区间中的L个分点，运用非线性参数寻优法，求得L个门限阈值，记为使F达到最大。

(3)对至每一个因子重复(1)~(2)步，求得，从中找出最大值，记为，其所对应的因子即为门限变量，即为门限阈值。

(4)根据把y和的样本分成L段，分别对每一段应用线性逐步回归方法建立分段线性回归方程，于是得到最终门限回归模式如下:

2.假设条件：当预报关系发生改变时，门限变量值间有最显著的差异。在此种情况下要找到这样的门限变量和门限阈值，使高于门限阀值和低于门限阈值的门限变量样本值间有显著差异，由此建立的门限回归模型具有当预报关系发生改变时，门限变量值有显著差异的特性。

此时具体计算方法为:从X中任取一个因子，给定一个门限初值，把的样本值 (k = 1,...,n)中大于的那些样本分为一组，其余的作为另一组，求得两组数据的方差分析F值，记为然后应用一维搜索来不断调整门限初值，记为。

以此不断重新分组计算两组样本的差异显著性检验值记为，对门限值寻优，使达到最大，从而求得以作为门限变量时的最大显著性指标，记为，相应的门限阈值记为。以下各步骤同第-种假设条件下的计算方法，这里从略。

3.假设条件：当预报问题为时间序列问题时，即样本为时间序列样本组成。此时假设预报对象时间序列由不同周期预报关系叠加组成。于是可把预报对象时间序列样本进行周期分解。方法如下:

对Y的n年样本，设周期为K，于是可排列成K年周期如下：

把每一列作为一组子样本，共有K组子样本。对每-组子样本的均值和方差与其他组进行比较，若存在显著性差异，即可认为该组变量所对应的年份是由不同周期预报关系造成的，因而可把该组因变量所对应的样本挑出来单独建立一个回归方程。其他样本建立另一个回归方程。在实际应用中，可对不同K值进行试验，以确定显著性最高的K年周期。

如果预报模型的突变受多个门限变量的控制，则称为多重门限回归，下面是两个门限变量，每个门限变量一个阈值的形式：

其建模方法步骤不难仿照一个门限变量的分析方法进行推广。

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