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阿基米德公理

数学术语

在抽象代数和分析学中，以古希腊数学家阿基米德命名的阿基米德公理（又称阿基米德性质），是一些赋范的群、域和代数结构具有的一个性质。粗略地讲，它是指没有无穷大或无穷小的元素的性质。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五，1883年，奥地利数学家Otto Stolz赋予它这个名字。

描述
阿基米德公理（又称阿基米德性质），是描述实数之间的大小关系的性质。它与柯西收敛准则共同描述了实数的连续性（即实数与数轴上的点一一对应）。
这个概念源于古希腊对量的理论；如大卫·希尔伯特的几何公理，有序群、有序域和局部域的理论在现代数学中仍然起着重要的作用。
阿基米德公理可表述为如下的现代记法： 对于任何实数x，存在自然数n有n>x。
在现代实分析中，这不是一个公理。它退却为实数，具完备性的结果。基于这理由，常以阿基米德性质的叫法取而代之。
形式叙述
解释
简单地说，阿基米德性质可以认为以下二句叙述的任一句：
这等价于说，对于任何正实数a、b，如果 a
与实数的关系
实数的完备性蕴含了阿基米德性，证明利用了反证法：
假设对所有n，na最小上界，令其为），于是有
得出也是S的一个上界，这与是最小上界矛盾。这样就由实数的完备性推出了阿基米德性质，但阿基米德性推不出实数的完备性，因为有理数满足阿基米德性，但并不是完备的。
历史
其实在历史上，首先是一个希腊数学家“欧多克索斯”首先公布的，早于阿基米德100年。阿基米德本人也在手稿中坦言了这一点，但是遵从传统，一般称之为“阿基米德公理（性质）”。
证明
显然当x>y>0时，取N=1即可，故以下证明均假设y>x>0。
由于阿基米德性质与柯西收敛准则共同反映了实数的连续性，所以可以用实数的连续性公理——戴德金定理来证明二者。
其中柯西收敛准则的证明可参考相应词条，以下只通过戴德金定理来证明阿基米德性质。
反证法：假设不存在这样的正整数N，使Nx>y，即假设对一切正整数n，都有nx≤y。
根据上界的定义，y是数集{nx}的一个上界，这里n=1、2、3、……。取{nx}的所有上界作为集合B，并把B在实数集R中的补集记为A，则：
①显然y∈B，而0∈A，所以A、B都是非空数集——不空
②A∪B=R——不漏
③由取法可知，对B中的任一元素b，都有b≥nx。而因A中的元素都不是{nx}的上界，故对A中的任一元素a，在数集{nx}中存在某个数n0x，满足a
由戴德金定理得，存在唯一实数ξ，使ξ是A中最大值，或是B中最小值。
若ξ是B中的最小值，则根据数集B的定义，nx≤ξ。
若ξ是A中的最大值，则同样可以得出nx≤ξ。否则，假设有某个n0x>ξ，那么n0x∈B。
∵n0+1>n0，x>0，由不等式的性质可知(n0+1)x>n0x
但由数集B的定义，数集B中的任何一个元素都不小于nx，这里n=1、2、3、……而(n0+1)x∈{nx}，所以属于数集B的n0x也将不小于(n0+1)x，这样一来便产生了矛盾。
∴无论是哪种情况，都有nx≤ξ，n=1、2、3、……
取 ，则
∴存在自然数 和 ，满足
或
∵
而
∴有 ，矛盾
∴一定存在正整数N，使Nx>y成立，阿基米德性质得证。
推论
设a是任一正实数，则存在正整数n，使不等式a
证明：
若0
若a>1，根据阿基米德性质，令a=y，1=x，则存在正整数n，使nx>y，即n>a。
该推论表示，自然数集N没有上界，即不存在一个数大于所有的自然数。
其他解释
欧几里得的解释：
任意给定两个正实数a、b，必存在正整数n，使na>b。
几何描述：在长短不同的两条线段中，无论较长的线段怎样长，较短的线段怎样短，总可以在较长的线段上连续截取较短的线段，并且截到某一次以后，必出现下面两种情况：
1：没有剩余；
2：得到一条短于较短线段的剩余线段。
举例
例1：
在一条直线上截取任意两条线段A,B。都符合A+A+A+···+A=A·N>B
这就是“阿基米德公理”有时也叫阿基米德-欧多克斯公理，因为阿基米德把这个命题归功于欧多克斯。其实，比欧多克斯更早些，我国古代《墨经》上已记载着“穷，或有前不容尺也”，指的正是这个意思。
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