有序群

带有全序的交换乘群

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

详细定义

有序群(ordered multiplicative group )是指由记以加法的交换群G与同G的法则相容的G中的一种序关系所组成的偶。换言之，对G之元素的任一三元组(x，y，z)，有：

有序群也可以定义为带有全序的一个交换乘(加)群。关于有序乘(加)群，下面两个定义是等价的：

1.Γ是一个阶大于1的交换乘(加)群，即Γ≠{1}({0})，若Γ中有非空子集Δ满足：

1) 1Δ(0Δ)。

2) 对Γ中的每一个元素λ≠1(λ≠0)，必有λ∈Δ或者λ∈Δ(-λ∈Δ)。

3) Δ对乘法(加法)封闭，

则称Γ为一个有序乘(加)群，或者称为由Δ所定义的有序乘(加)群。

2.Γ是一个交换群，若Γ上定义了一个二元关系≤，满足下面条件：

1) 对于每个λ∈F有λ≤λ成立。

2) 对于任意两个λ，u∈Γ，有λ≤u或者u≤λ成立。

3) 若λ≤u以及u≤λ，则λ=u。

4) λ≤u，u≤v且有λ≤v。

5)若λ≤u，且对任何v∈Γ皆有

λv≤uv(λ+v≤u+v)。

有序交换群在赋值论中有很重要的作用。

群

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群；时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

交换群

交换群亦称阿贝尔群，是一种重要的群类。对于群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba。若群G的运算满足交换律，即对任意的a，b∈G都有ab=ba，则称G为阿贝尔群。由于阿贝尔(Abel，N.H.)首先研究了交换群，所以通常称这类群为阿贝尔群。交换群的运算常用加法来表示，此时群的单位元用0(零元)表示，a的逆元记为-a(称为a的负元)。用加法表示的交换群称为加法群或加群。

交换群的运算适合交换律。挪威数学家阿贝尔在研究高次方程的根式求解时，除了五次方程以外，他讨论了更广一类的方程，现称之为阿贝尔方程。其全部根都是其中一个根的有理函数，设x1是n次阿贝尔方程的一个根，其全部根则为，其中Qi(i=1，…，n-1)是有理函数，并且对于任意的1≤i≤j≤ n，有Qi(Qj(x1))=Qj(Qi(x1))。后人发现，阿贝尔方程是具有交换律的伽罗瓦群的方程。为了纪念阿贝尔，后人称交换群为阿贝尔群。

交换群是一般群论中的一个独特分支。在拓扑学和代数学中常常构造一些交换群，作为讨论问题的工具。例如，拓扑学中的基本群、同调群，代数学中的布饶尔群等等。交换群论与代数拓扑学、模论、同调代数、环论等有着密切的联系。

全序

全序亦称“线性序”。序关系的一种。具有连结性的半序。可分强、弱两种，分别用<与≤表示，它们是满足相应连结性的强、弱半序关系。即对于集合X中的任何元a，b，连结性也可表示为：a=b或a

应用领域

有序群在赋值论中有重要应用。

赋值论是域论的一个重要分支。它是研究交换代数的一个工具。特别是在代数数论、分歧理论、类域论和代数几何中有极为重要的应用。通常的赋值可分为加法与乘法赋值两类，有时简称赋值。从赋值出发，可以给原来的域一个拓扑结构，使之成为拓扑域.赋值理论肇始于屈尔沙克(Kürschák，J.)于1913年发表的论文.赋值、赋值域这些名称都是他首先引入的。其后，经过奥斯特洛夫斯基(Ostrowski，A.M.)等人的工作，解决了屈尔沙克在论文中提出的问题，并发展了这一理论.1932年，克鲁尔(Krull，W.)发表了题为《一般赋值理论》的基本论文，从而奠定了赋值论这一分支的基础.时至今日，赋值理论已逐渐越出了“域”的界限，在许多代数结构上，例如群、环、向量空间等，也用多种方式引进赋值，并由此对这些结构作算术理论的研究.此外，赋值论还渗入泛函分析的领域，发展了所谓非阿基米德泛函分析。

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