模论

抽象代数学组成部分

模论是抽象代数学的重要组成部分之一，主要研究环上的模。模的概念本质上是域上向量空间的直接推广。早在19世纪，狄利克雷(Dirichlet,P.G.L.)就曾经考虑过多项式环上的模。20世纪20年代，诺特(Noether,E.)曾一再提出过模的重要作用，交换环上的模在代数几何中有重要作用。交换环上的模在代数几何中有重要作用，域上的模就是向量空间。到了20世纪40年代，由于环论的需要和同调代数的兴起，模论得到了进一步发展。近30年来，已成为同调代数、群论、环论、代数K理论、范畴论等分支学科研究中不可缺少的工具，并在其他数学分支，如代数几何、拓扑学、泛函数分析甚至微分方程等领域里得到了较广泛的应用。现代模论已成为内容丰富、文献浩繁的代数学的一个独立分支。

学科发展

模论是抽象代数学的重要组成部分之一，主要研究环上的模。模的概念本质上是域上向量空间的直接推广。

早在19世纪，狄利克雷(Dirichlet,P.G.L.)就曾经考虑过多项式环上的模。

20世纪20年代，诺特(Noether,E.)曾一再提出过模的重要作用，交换环上的模在代数几何中有重要作用。交换环上的模在代数几何中有重要作用，域上的模就是向量空间。

到了20世纪40年代，由于环论的需要和同调代数的兴起，模论得到了进一步发展。

近30年来，已成为同调代数、群论、环论、代数K理论、范畴论等分支学科研究中不可缺少的工具，并在其他数学分支，如代数几何、拓扑学、泛函数分析甚至微分方程等领域里得到了较广泛的应用。

现代模论已成为内容丰富、文献浩繁的代数学的一个独立分支。

概括介绍

模是线性空间的推广，把线性空间的定义中的域放宽成环，就得到模的概念，这意味着模中有“加法”和“数乘”两种运算，环与域的最大不同在于两点：一是环里有些元素不可逆，一是环的乘法不一定满足交换律，这既使得模所包含的对象比线性空间广泛得多，又使得模需要区分左模和右模，模是近代代数学的最基本的概念之一，模的理论在许多代数分支内都有重要应用。

模论是抽象代数的基本而重要的部分，与代数的许多分支有着密切的联系。是群论、环论相当重要的工具，同时也是同调代数、范畴理论以及代数拓扑的理论基础。作为一门课程, 模论已被列入数学系本科生代数选修课的首选课程之一。它与数学系两门必修的代数课程—高等代数、近似代数的联系相当密切。一方面，它以高等代数与近似代数的理论、方法作为全面的必要的基础，另一方面，又使得这些理论与方法得到充分的应用、补充和深化。一个最经典的例子就是模论把域上的有限维向量空间的理论相当完美地推广到主理想整环的情形, 建立了主理想整环上的有限生成模的理论。因此，无论是大学、专科还是大学本科数学系的代数老师，模论知识就成为必备的修养。

模的基本理论包括模的定义，还有模论中的一些基本概念，像其他代数系统一样，为了对模进行深入系统的研究, 必须建立一系列至关重要的概念。这些概念构成了模论的骨架。我们有子模、商模、循环模、有限生成模、单模等概念。为了研究模与模之间的关系，我们有模的同态、同构、同态的核、同态的像等概念，这些概念同群论中相应的概念是基本类似的。要特别叙述一下的是正合列，这个概念在模论的研究中起着最基础的作用。设为一个序列，为模同态，如果则称该序列为一个正合列。

为了研究模，人们已建立了一整套完备的模论基本定理。这些基本定理成为研究模的基本工具，也构成了模论最基础的部分。有模同态基本理论、三个同构定理：第一同构定理、第二同构定理、第三同构定理、Jordan-jolder定理、模的升链条件和降链条件等等。

模论在环的研究中的应用

在经典环论中，人们往往是利用环的各种根，如 Jacobson 根、Baer根、Koethe 根、Levitzki根、Brown-McCoy根等和环的理想的性质，如谐零性、幂零性等以及环的链条件(升链和降链条件)来研究环的。这些方法对环论的研究起了非常重要的作用。但自从模论引进环的研究后, 环论的研究就呈现出非常生机的景象。利用模来研究环，从最原始的角度来讲，也是非常自然的。因为环R上的一个模M实质上就是环的一个表示。环的各种表示的全体必然携带着环的各种信息。我们知道，一个环 R 上的所有表示或所有模构成一个Abel范畴。这就使得我们自然地利用范畴论的思想来研究环论。重要知识点有两个重要的函子：Hom和⊕；几种重要的模类：自由摸、投射模、内射模、平坦模；重要的模论刻画等。

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