隙积术和会圆术

算术求积尺之法，如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类，物形备矣，独未有隙积一术。

古法：凡算方积之物，有立方，谓六幕皆方者，其法再自乘则得之。有堑堵，谓如土墙者，两边杀，两头齐。其法并上下广折半以为之广，以直高乘之。又以直高为股，以上广减下广，余者半之为勾，勾股求弦，以为斜高。有刍童，谓如覆斗者，四面皆杀。其法倍上长加入下长，以上广乘之，倍下长加入上长，以下广乘之，并二位，以高乘之，六而一。

隙积者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及酒家积罂之类。虽似覆斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。予思而得之：用刍童法为上位，下位别列，下广以上广减之，余者以高乘之，六而一，并入上位。（假令积罂：最上行纵横各二罂，最下行各十二罂，行行相次。先以上二行相次，率至十二，当十一行也。以刍童法求之，倍上行长得四，并入下长得十六，以上广乘之，得之三十二，又倍下行长得二十四，并入上长，得二十六，以下广乘之，得三百一十二，并二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。重列下广十二，以上广减之，余十，以高乘之，得一百一十，并入上位，得三千八百九十四。六而一，得六百四十九，此为罂数也。刍童求见实方之积，隙积求见合角不尽，益出羡积也。）

履亩之法，方圆曲直尽矣，未有会圆之术。凡圆田，既能拆之，须使会之复圆。古法惟以中破圆法拆之，其失有及三倍者。予别为拆会之术：置圆田，径半之以为弦，又以半径减去所割数，余者为股，各自乘，以股除弦，余者开方除为勾，倍之为割田之直径。以所割之数自乘倍之，又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧。再割亦如之，减去已割之弧，则再割之弧也。（假令有圆田，径十步，欲割二步，以半径为弦，五步自乘得二十五，又以半径减去所割二步，余三步为股，自乘得九，用减弦外，有十六，开平方，除得四步为勾，倍之为所割直径。以所割之数二步自乘为四，倍之得为八，退上一位为四尺，以圆径除。今圆径十，已足盈数，无可除，只用四尺加入直径，为所割之弧，凡得圆径八步四尺也。再割亦依此法，如圆径二十步求弧数，则当折半，乃所谓以圆径除之也。）此二类皆造微之术，古书所不到者，漫志于此。

算术中求物体体积的方法，如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马等，各种物体的形状都齐备了，唯独没有隙积这一种算法。古代的算法，凡是计算物体的体积，有立方体，是指六个面都是正方形的物体。它的计算方法是把一条边自乘两次就求得了。有堑堵，是指像土墙一样的形状的物体，两个墙面是斜的，两头的面是直立的。它的截面积的算法是把上、下底面的宽相加，除以二，作为截面的宽，用直高与它相乘即得。再把直高作为股，用上底面的宽减去下底面的宽，得到的差数除以二作为勾，用勾股定理算出弦，就是它的斜边长。有刍童，是说像倒扣在地上的斗那样的形状，四个侧面都是斜面。它的计算方法是：把上底面的长乘以二，加下底面的长，再用上底面的宽乘它，把下底面的长乘以二，加上底面的长，再用下底面的宽乘它；加上这二项，用高乘它们，再取其六分之一，就得到了它的体积。隙积是指体积有空隙的堆垛体，像垒起来的棋子、分层筑造的土坛和酒店里堆起的酒坛一类的东西。它们虽然像倒扣的斗，四个侧面也都是斜的，但由于边缘有残缺和空隙的地方，如果用刍童法来算它，得出的数目常常比实际的少。我想出了一种算法：用刍童法计算出它的上位、下位，再列出它的下底宽，减去上底宽，把这一差数乘以高，取其六分之一，并入前面的数目即可以了。（如果有堆垛的酒坛子，最上层长、宽都是两只坛子，最下层长、宽都是十二只坛子，一层层相错开垛好。先从最上层数起；数到有十二只坛子处，正好是十一层。用刍童法来算，把上层的长乘以二得四，加下层的长得十六，用上层的宽来乘它，得三十二。又把下层的长乘以二得二十四，加上上层的长得二十六，用下层的宽来乘它，得三百一十二。上、下两位相加，得三百四十四，乘以高得三千七百八十四。另外把下层的宽十二减去上层的宽，得十，与高相乘，得一百一十。加上前面的数字得三千八百九十四。取其六分之一，得六百四十九。这就是酒坛子的数目。用刍童法算出的是“实方”的体积，用隙积法算出的是截剩部分拼合成的体积，可以求出多余的体积。）丈量土地的算法，方、圆、曲、直的都有了，但没有会圆的算法。凡是圆形土地，既能够拆开它，又必须使它合起来能恢复圆形。古代的算法只是用“中破圆法”拆开来计算，其误差有达三倍的。我另外设计了一种拆开、会合的方法：设置一块圆形土地，以其直径的一半作为弦；再从半径减去所割下的弧形的高，它们的差数作为股。弦、股各自平方，用弦的平方减去股的平方，它们的差平方作为勾，再乘以二，就是割下的弧形田的弦长。把割下的弧形田的高平方，乘以二，再除以圆的直径，所得的商加上弧形的弦长，便是割下的弧形田的弦长。再割一块田，其算法也如此，把总的弧长减去已割部分的弧长，就是再割田的弧长了。（假如有一块圆形田，直径为十步，想使割出的弧形高二步，就用圆半径五步作为弦，五步平方得二十五，用半径减去弧形的高二步，它们的差数三步作为股，平方得九。用它来减弦的数二十五，得十六，开平方得四，这就是勾，再乘以二就得弧的弦长。把圆弧的高二步自乘，得数为四，再乘以二得八，退上一位为四尺，用圆的直径相除。现今圆的直径为十，已经满了整十数，不除退上一位也可以。只需要将四尺加入弧弦长，就得出圆弧的弧长，共是八步四尺。再割一块田，也依照这种方法。如果圆弧直径是二十步，要求孤长，就应当折半，这就是所说的要用圆弧直径来除它。）这两类方法都是涉及精微的算法，是古书里所没有的。

沈括是一位卓越的数学家，在数学的许多领域内都取得了辉煌的成就，《隙积术和会圆术》记所记的隙积术和会圆术就是他的两大重要研究成果。 　隙积术是用来计算诸如累棋、层坛、积罂（堆砌的酒坛子）一类堆垛物体的体积公式，其中包含了高阶等差级数的计算公式。沈括的研究开了中国垛积术研究的先河。后来，南宋时期的数学家杨辉发展了这一成果，创造了垛积术公式。

会圆术是计算圆弧的弦、矢（弧的高）与孤长间数量关系的数学公式。在我国数学史上，沈括第一个利用弦、矢求出了孤长的近似值。这一公式为元代郭守敬创制《授时历》提供了直接的数学依据。

沈括的数学成就赢得了中外科学家的高度赞扬。日本数学家三上义夫在其《中国算学之特色》一书中，称赞他是世界数学史上独一无二的杰出人物。客观地看，这一评价基本上还是符合事实的。

沈括 （1031—1095），字存中，浙江钱塘（今杭州市）人。北宋天圣九年，出生于一个下层官吏的家庭，家境并不富裕，沈括常自谓“出自寒门”。母徐氏，是苏州吴县人，知书达礼，谙通文墨；父沈周，为官清正，不主张严刑苛法，到泉州任职时，沈括随往。

沈括的一生，可以概括为从政和科学研究两个方面，兹举其要点：公元1070（熙宁三年），参加了王安石变法，并且是改革派的中坚人物；公元1075（熙宁八年），出使辽国，“正驳斥辽国无理争地要求，维护了宋室主权；继而镇守延州（今陕西延安），加强武备，设防边睡，有效地抵御西夏。沈括一向重视兴修水利、监制兵器、管理财政等，希望促进国家强盛。沈括在从政的同时，一生重视科学研究和科学发明的记载。所进行的科研，堪称广博，诸如观测天象，绘制浑仪景表，补修《奉元历》；在数学方面，创立“隙积术”和“会圆术”；在物理学方面，发现地磁偏角的存在，早于欧洲400多年，对共振规律也有研究；在地质学方面，从岩石生物遗迹中推论出冲积平原的形成，提出石油的命名。此外，钻研药用植物与医术。沈括平生著述颇多，著名的传世之作有《梦溪笔谈》、《长兴集》、《苏沈良方》等。在《资治通鉴长编》中，尚有一部分他所撰写的《乙卯入国奏请》、《入国别录》等资政史料。

公元1082（元丰五年），因徐禧失陷永乐城，沈括连累受贬，居润州，筑梦溪园（今镇江东郊），潜心著述，至绍圣元年复官爵，公元1095辞世，终年65岁。