隶属函数

数理科学领域术语

隶属函数(membership function)，是用于表征模糊集合的数学工具。为了描述元素u对U上的一个模糊集合的隶属关系，由于这种关系的不分明性，它将用从区间[0，1]中所取的数值代替0，1这两值来描述，表示元素属于某模糊集合的“真实程度”。

简介

隶属函数，也称为归属函数或模糊元函数，是模糊集合中会用到的函数，是一般集合中指示函数的一般化。指示函数可以说明一个集合中的元素是否属于特定子集合。一元素的指示函数的值可能是0或是1，而一元素的隶属函数会是0到1之间的数值，表示元素属于某模糊集合的“真实程度”（degree of truth）。

例如质数为一集合，整数3属于质数，其指示函数为1，整数4不属于质数，其指示函数为0。但针对模糊集合，可能不会有如此明确的定义，假设胖子是模糊集合，可能体重80公斤的人其隶属函数为0.9，体重70公斤的人其隶属函数为0.8。

隶属函数数值是在0到1之间，看似类似机率，但两者是不同的概念。

隶属函数最早是由卢菲特·泽德在1965年第一篇有关模糊集合的论文中提及，他在模糊集合的论文中，提出用值域在0到1之间的隶属函数，针对定义域中所有的数值定义。

定义

针对集合，集合上的隶属函数是将集合映射到单位实数区间的函数。

集合上的隶属函数对应集合中的模糊子集。对应模糊集合的隶属函数一般会用来表示。针对集合中的元素，的数值称为对应模糊集合的隶属度，表示符合模糊集合的程度。0表示元素不是模糊集合的元素，1表示元素是模糊集合的元素，0到1之间的值表示此元素部分符合模糊集合。

有时会用一个更通用的定义，隶属函数的值可以是任意的固定代数或是数学结构中取值，一般会要求至少是偏序关系或是格 (数学)。一般值在[0,1]之间的隶属函数此时会称为[0,1]-值隶属函数。

确定方法

1）模糊统计方法

这个方法借助了概率统计的中的思想，其步骤与概率统计中的随机试验是相对应的。一个模糊统计试验也要有四个要素：

(1)论域；

(2)试验所要处理的论域的固定元素；

(3)论域的可变动的子集，他作为模糊集的有可塑性的边界的反映，可由此得到每次试验中是否符合所刻划的模糊概念的一个判决；

(4)条件集，它限制着的变化。

模糊统计法是在大量的实验中确定隶属函数的方法。模糊统计法包括下列步骤：

1)确定论域与因素集；

2)要求参与实验者就论域中各给出的点是否属于因素集中的各元素进行投票；

3)统计投票结果，求出隶属函数。

随着的增大，隶属频率也会趋向稳定,这个稳定值就对的隶属度的值。选此方法较为理想的情况是如果模糊集反映的是社会的一般意识，它的大量的可重复表达的个别意识的平均结果，例如青年人，经济增长快，生产正常等。

2）指派方法

若模糊集定义在实数域上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布。所谓指派方法，就是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。

3）专家经验法

专家经验法是根据专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或相应权系数值来确定隶属函数一种方法。在许多情况下，经常是初步确定粗略的隶属函数,然后再通过“学习”和实践检验逐步修改和完善，而实际效果正是检验和调整隶属函数的依据。选此方法较为理想的情况是：如果模糊集反映的是某个时间段的个别意识，经验判断，例如专家对某个项目可行性的评价等。

4）二元对比排序法

对于有些模糊集，很难给出隶属度，但可以通过对多个事物之间的两两对比来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大体形状。二元对比排序法是一种较实用的确定隶属度函数的方法。

5）借用已有的“客观”

尺度选此方法较为理想的情况是模糊集反映的模糊概念已有相应成熟的指标，这种指标经过长期的实践检验已成为公认的对事物的真实的又是本质的描述，则可直接采用这种指标。

应用容度

隶属函数的一个应用是在决策理论中的容度（capacity）。

在决策理论中，容度定义为函数，其定义域S是某个集合的子集，值域为，函数满足集合定义上的单调而且正规化（也就是）。这是广义的机率量测，其中可数可加性的概率公理不一定要成立。容度用来表示某一事件可能性的量测，而特定结果下，其容度的期望值可以对容度作Choquet积分求得。