集合存在性公理

数学术语

集合存在性公理(existence axiom of set)是GB系统的集合论公理，指GB系统中的第3组(即C组)公理，共有4条，包括无穷公理，并集公理，幂集公理，和替换公理。

基本介绍

集合存在性公理是GB系统的集合论公理，指GB系统中的第3组(即C组)公理，共有4条：

1.无穷公理，即无条件承认有一非空集a，对于a的每一元x，必有a的元y，使得x为y的真子集，因此，a的元必有无穷多。

2.并集公理，即断言对任何集x，都存在着一集y，使得x的任何元的元都是y的元。

3.幂集公理，指对任何集x，都有集合y存在，使得x的任一子集都是y的元。

4.替换公理，指对任何集合x和任何单值的A，总有集合y存在，此y恰由x的元经由单值二元关系A所产生的集组成。

其符号表达式依次为：

C1　∃a{～Cm(a)∧ᗄx[x∈a→∃y(y∈a∧x⊂　y)]}.

C2　ᗄx∃yᗄuᗄv[u∈v∧v∈x→u∈y].

C3　ᗄx∃yᗄu[u⊆x→u∈y].

C4　ᗄxᗄA{Un(A)→∃y ᗄu[u∈y↔∃v(v∈x∧　　〈u，v〉∈A)]}.

注意，由C1，C2，C3所决定的新集合并不惟一确定，又上述诸符号表达式中之Cm和Un分别指空类和单值，亦即：

Cm(X)→ᗄuᒣ(u∈X)，

Un(X)↔ᗄuᗄvᗄw[〈　〉∈X∧〈　〉∈X→v=w].

无穷公理

无穷公理(axiom of infinity)亦称无限公理，是集合论的一条重要公理，由策梅洛(E.F.F.Zermelo)于1908年首先提出，该公理是断言：存在无穷集合。对策梅洛这一公理的形式化有各种不同的方法，较为成功的有：

1.∃X(∃u(u∈X)∧(∀u∈X)

(∃v(v∈X∧u⊆v∧¬(v=u)).

2.存在一个递归集S：∃S(∅∈S∧(∀X∈S)[X∪{X}∈S]).递归集是无限集；反之，利用替换公理模式可从无限集的存在性推出递归集的存在性.

另外，1925年，塔尔斯基(A.Tarski)定义了T无限的概念：如果存在X⊆P(N)，没有极大元素，则称N是T无限集，他证明了一个集合无限，当且仅当它是T无限的，因此无穷公理也可表述为：存在T无限集。

并集公理

并集公理(axiom of union)是集合论的一条重要公理，由策梅洛(E.F.F.Zermelo)于1908年提出，该公理断言：对任何集合X，存在X的所有元素的并集Y=∪X.这条公理可以形式化为：

∀X∃Y∀u(u∈Y∃z(z∈X∧u∈z)).

利用这条公理可以定义集合的并运算，例如，X∪Y=∪{X，Y}，X∪Y∪Z=(X∪Y)∪Z.{a，b，c}={a，b}∪{c}等.也可以定义集合的包含关系：

X⊆Y∪{X，Y}=Y.

由于X⊆X∪Y，Y⊆X∪Y，所以，从并集公理可以得出包含公理：对任意两集X与Y，存在同时以X，Y为子集的集合。

幂集公理

幂集公理(axiom of power set)是集合论的一条重要公理，由策梅洛(E.F.F.Zermelo)于1908年首先提出，该公理断言：对任何集合X，存在它的所有子集组成的集合(幂集)Y=P(X).这条公理可以形式化为∀X∃Y∀u(u∈Y↔∀v(v∈u→v∈X)).如果把∀v(v∈u→v∈X)记为u⊆X，表示u是X的子集，公理又可形式化为：∀X∃Y∀u(u∈Y↔u⊆X)，从幂集公理得，X∈P(X)且¬(P(X)X)，并可以定义集合论中一系列重要的概念，例如，集合的笛卡儿积、二元关系、二元关系的定义域、值域、域、n元关系、对应、映射、映射的限制、映射的扩张、运算、集上等价关系等.因为这些概念都有一个根本的出发点：对任何二集合X与Y，X×Y⊆P(P(X∪Y))，即X×Y是集合。

替换公理

替换公理(axiom of replacement)亦称置换公理，是集合论的一条重要公理，替换公理由弗伦克尔(A.A.Fraenkel)于1922年首先提出，该公理断言：对任何集合论公式A(u，v)有

∀u∃v∀w(A(u，v)∧A(u，w)→v=w)→

∀X∃Y∀v(v∈Y↔(∃u∈X)A(u，v)).

这条公理指出，对于任何集合X与任何公式A(u，v)确定的映射f，映射的象f(X)是一个确定的集合，由于公式A(u，v)有无穷多个，每个具体的公式都确定一条公理，因此，弗伦克尔的公理实质上是一个公理模式，它包含了无穷多条公理。替换公理的引入，解决了某些ZF集合论其他公理不能解决的问题。有了这条公理，可以推得某种非常大的特殊集合，但是如果去掉无穷公理，由替换公理推不出无穷集的存在性.在ZF中，子集公理与空集公理可直接由替换公理推出.由替换公理与幂集公理可导出配对公理。

替换公理有下列各种等价形式：

1.若F是一个映射，则对任何集合A，F(A)是一个集合。

2.若F是一个映射，且定义域dom(F)是集合，则值域ran(F)也是集合。

3.若F是一个映射，则∀A∃f(F|A=f)，下面的P1，P2，…，Pn是参变元。

4.对任何集合论公式φ(x，y，P1，P2，…，Pn)有∀x∃y∀z(φ(x，y，P1，P2，…，Pn)∧φ(x，z，P1，P2，…，Pn)→y=z)→∀X∃Y∀y(y∈Y↔(∃x∈X)φ(x，y，P1，P2，…，Pn))。

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