非完整系统

古典力学术语

在古典力学里，假如，一个系统有任何约束是非完整约束，则称此系统为非完整系统。非完整约束不是完整约束。

定义

在古典力学里，假如，一个系统有任何约束是非完整约束，则称此系统为非完整系统。非完整约束不是完整约束。完整约束可以用方程式表示为

这里，f是每一个粒子之位置和时间的函数。非完整约束不能够用上述方程式表示。

广义座标转换

完整约束方程式与位置、时间有关，与速度无关。完整约束方程式可以很简易地除去指定的变数。假设变数xd是完整约束函数fk里的一个参数，指定除去 xd。重新编排上述约束方程式，求出表示xd的函数gk：

将函数gk代入所有提到xd的方程式。这样，可以除去所有指定变数xd。

假设一个物理系统原本的自由度是N。将h个完整约束作用于此系统。那么，这系统的自由度减少为m=N-h。可以用m个独立广义座标来完全描述这系统的运动。座标的转换方程式可以表示如下：

换句话说，由于非完整约束无法依照上述方法，来除去其所含广义座标，完全描述非完整系统，所需要的广义座标数目，大于自由度。

微分形式表示

约束有时可以用微分形式的约束方程式来表示。思考第i个约束的微分形式的约束方程式：

这里，分别为微分的系数。

假若此约束方程式是可积分的。也就是说，有一个函数的全微分满足下述等式：

那么，此约束是完整约束；否则，此约束是非完整约束。因此，所有的完整约束与某些非完整约束可以用微分形式的方程式来表示。不是所有的非完整约束都可以这样表示。含有广义速度的非完整约束就不能这样表示。所以，假若知道一个约束的微分形式的约束方程式，这约束到底是完整约束，还是非完整约束，需要看微分形式的约束方程式能否积分来决定。

半完整系统

表示非完整约束的方程式往往比较复杂。因此，非完整系统也比较难分析，只有简易一点的非完整系统能用形式论来分析。假如，一个非完整系统的约束可以用以下方程式表示：

则称此系统为半完整系统；这里，是广义速度。

半完整系统可以用拉格朗日形式论来分析。更具体地说，分析半完整系统必须用到拉格朗日乘子

这里，是未知函数。

假设哈密顿原理成立，则下述方程式成立：

这里，L是拉格朗日量，分别为积分的时间下限与上限。经过变分法运算，可以得到方程式

由于这N个广义座标中，仍旧有n个不独立广义座标，不能将拉格朗日方程式提取出来；必须加入拉格朗日乘子项目：

经过变分法运算，可以得到方程式

这里，是广义力的j分量：

虽然还有n个不独立广义座标，仍旧可以调整n加入的拉格朗日乘子，使总和公式内的每一个虚位移的系数都等于0。因此，

这N个方程式加上n个约束方程式，给予了N+n个方程式来解N个未知广义座标与n个拉格朗日乘子。