自然数

数学术语

自然数（natural number）按ISO 80000-2:2019的定义，指非负整数，即0,1,2,3,4...一般用字母ℕ表示由全体自然数构成的集合。即便到今天，自然数是否包括0仍有争议，为避免歧义，可直接以术语“非负整数”代替自然数称之。自然数在数学上的严格定义基于两种等价的理论，序数理论和基数理论。自然数有无限性，线性序集，可以定义加法和乘法等多种运算等重要性质。自然数可以分为偶数和奇数、合数质数0和1。

数学符号

数学中使用来表示所有自然数组成的集合。

为了消除自然数是否包含0的歧义，有时会通过上、下标的形式表示集合中是否包含0：

自然数：；

非零自然数（正整数）：。

严格定义

自然数集有基数理论和序数理论两种等价定义。

序数理论

基于序数理论：

自然数集的皮亚诺公理定义由四条公理给出：

1) 非空；

2) 上有一单射f，对任意的，；称为的后继数；

3) 0不是任何自然数的后继数；

4)（归纳公理）设S为的一非空子集，满足且，那么。

上述公理用数学语言可以表述如下：

基数理论

基于基数理论：

在 ZFC 和有关理论中，自然数的集合论定义是约翰·冯·诺伊曼的序数定义：

1)；

2)；

通过无穷公理，可以得到存在一个只包含全体自然数的自然数集。

性质

注意在以下介绍的性质中，自然数集都默认包含0。如果不包含0，那么只是性质的形式会略有变化。

自然数集是无限集

如果集合与自然数集等势（即存在到上的双射），记作，就称X为可数集（或可列集）。可数集的势记为，读作“阿列夫零”。

自然数的和与积是自然数

设，则。用表示这样的自然数的集合。于是，这是因为任何，作为的后继有。如果，即对所有成立，那么由知。归纳得。

类似地，设，则。

交换性

对于任何自然数a和b，且。

由上面的证明可知是交换幺半群，其中生成元为1，幺元为0。也是交换幺半群，幺元为1。

加乘关系

自然数集满足乘法对加法的分配律：

线性序集

自然数集的元素间有关系≤，即对的元素x与y，或满足x≤y，或满足y≤x。同时满足以下条件（序公理）：

满足上述四条公理的集合称为线性序集，这样所有中的元素均能比较大小。

没有非零的零因子

如果a和b是自然数，并且，则a=0或b=0（或都等于0）。

分类

按奇数和偶数分

1、奇数：不能被2整除的数，全体奇数的集合记作。

2、偶数：能被2整除的数，全体偶数的集合记作。

按因数个数分

1、质数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数，也叫素数。

2、合数：除了1和它本身还有其它因数的自然数叫做合数。

3、1：1既不是质数也不是合数。

4、0：0既不是质数也不是合数。

历史与“0”的争议

自然数概念的发展是一个漫长而渐进的过程。最开始“数”的概念是作为日常生活的一部分而产生的。起初，人类从乱七八糟的无序经验中，产生了这样的认识：事物之间存在着同一性。例如一匹狼和一群狼、一头羊和一群羊的相似性，双手可以和双脚、双眼、双耳或两个鼻孔相匹配。在不断认识事物间的差异和同一性的同时，科学和数学就慢慢诞生了出来。起初只有1、2和2以上的概念。后来人们使用了手指、脚趾、石头堆来表达和记录数字，为了方便保存，也在木棒或骨头上划下刻痕。约五千年前，古埃及人已经可以使用象形文字表达基于十进制的数字了。古巴比伦人发明了位置计数法，这使得他们对较大自然数的书写更为简便。古希腊毕达哥拉斯学派（Pythagoras）对数字的抽象概念进行了系统的研究，他们研究了三角形数、多边形数、质数、递进数列等，自然数在这一期间得到了长足的发展，自此以后便成为了数学上的常客。

自然数作为名词第一次出现是1763年在威廉·爱默生（William Emerson）写的《增量法》（Themethod of increments）中。在1771年的《大英百科全书》（Encyclopaedia Britannica）中收录了自然数，并被定义为数字1,2,3,4,5等。

0是极为重要的数字，其发现被称为人类伟大的发现之一。0最早出现于印度876年的一件碑铭上。这个数据说是由印度人在约公元5世纪时发明，在1202年时，一个商人写了一本算盘之书，在东方中由于数学是以运算为主（并在开头写了“印度人的9个数字，加上阿拉伯人发明的0符号便可以写出所有数字……”。由于一些原因，在初引入0这个符号到西方时，曾经引起西方人的困惑，因当时西方认为所有数都是正数，而且0这个数字会使很多算式、逻辑不能成立（如除以0），甚至认为是魔鬼数字，而被禁用。直至约公元15，16世纪0和负数才逐渐被西方人所认同，才使西方数学有快速发展。

0的另一个历史：0的发现始于印度。公元元年左右，印度最古老的文献《吠陀》已有“0”这个符号的应用，当时的0在印度表示无（空）的位置。约在6世纪初，印度开始使用命位记数法。7世纪初印度大数学家葛拉夫·玛格蒲达首先说明了0的0是0，即任何数加上0或减去0得任何数。遗憾的是，他并没有提到以命位记数法来进行计算的实例。也有的学者认为，0的概念之所以在印度产生并得以发展，是因为印度佛教中存在着“绝对无”这一哲学思想。公元733年，印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，因为这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字。这套记数法后来又传入西欧。

对于“0”，它是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。到21世纪关于这个问题也尚无一致意见。

在国外，有些国家的教科书是把0也算作自然数的。这本是一种人为的规定，中国为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，定义自然数集包含元素0，也是为了早日和国际接轨。现行九年义务教育教科书和高级中学教科书（试验修订本）都把非负整数集叫做自然数集，记作，而正整数集记作或。这就一改以往0不是自然数的说法，明确指出0也是自然数集的一个元素。0同时也是有理数，也是非负数和非正数。然而在数论领域和一些分析的数学书籍仍把“0”排除在外。

自然数的求和问题

考虑自然数构成的数列0,1,2,3,…其递推公式为，通项公式为，前n项和公式为：

考虑所有自然数的和这个级数虽然是发散的，但是可以使用黎曼zeta函数在处的解析延拓得到。

数集的拓展

其他常用的数集均是从自然数集拓展而来。自然数集加入负整数就成了整数集，用表示。整数集加入分数就成了有理数集，用表示。有理数集加入无理数就成了实数集，用表示。实数集加入就成了复数集，用表示。

上面的说法事实上极不严谨，严谨（但毫不通俗）的说法是：自然数集赋予加法群结构（逆元存在）就成了整数集，用表示。整数集赋予乘法群结构就成了有理数集，用表示。有理数集完备化就成了实数集，用表示。实数集加入形成的扩域就是复数集，用表示。

全国各地天气预报查询

上海市

市辖区

云南省

临沧市

云南省