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韦格纳分布

数学术语

韦格纳分布是由1963年的诺贝尔物理学奖得主尤金·保罗·韦格纳，于1932年首次引用了一个新的方程式。韦格纳分布是一种重要的双线性时频分布，具有分辨率高、能量集中和满足时频边缘特性等优良特性。也被音译为“维格纳分布”。但该时频分布是双线性的，对于多分量信号而言，韦格纳分布存在严重的交叉项干扰。

数学定义
韦格纳分布函数有几个不同的定义。这里给出的定义特定于时频分析。给定时间序列x [t]，其非稳态自相关函数由下式给出
然后通过以平均时间表示自相关函数给出t=(t1+t2)/2和时间滞后 =t1-t2，傅里叶变换滞后。
因此，对于单个（平均零）时间序列，韦格纳分布函数简单地是
韦格纳分布函数的功能是随时降低光谱密度函数t，对于固定过程，完全等同于非平稳自相关函数。因此，韦格纳分布函数告诉我们（大概）频谱密度如何随时间变化。
交叉项干扰
韦格纳分布函数不是线性变换。当输入信号中存在多于一个分量时，会发生交叉项（“时间跳动”），与频率跳动相似。该时频分布是双线性的，对于多分量信号而言，韦格纳分布存在严重的交叉项干扰。相比之下，短时傅里叶变换没有这个特征。韦格纳分布的负特征反映了经典信号的伽柏极限，与物理上与量子结构的任何可能的底层无关。
以下是展示韦格纳分布函数的交叉干扰的一些示例。
为了减少交叉干扰，已经提出了其他几个变换，包括修改的韦格纳分布函数，伽柏-韦格纳变换和科恩类分布。
性质
韦格纳分布函数具有下面列出的几个明显属性。
投影属性
恢复属性
时刻属性
区域属性
乘法定理
卷积定理
时变协方差
时间-频率分析示例
以下是一些示例，说明如何在时间 - 频率分析中使用韦格纳分布。
恒定输入信号
当输入信号恒定时，其时间 - 频率分布是沿着时间轴的水平线。例如，如果x（t）= 1，那么
当输入信号为正弦函数时，其时频分布是与时间轴平行的水平线，由正弦信号的频率偏移。
德尔塔输入信号
当输入信号为增量函数时，由于在t = 0时它只是非零，并且包含无穷大的频率分量，所以它的时间 - 频率分布应该是跨原点的垂直线。这意味着delta函数的时间频率分布也应该是delta函数。由韦格纳分布可知
当输入信号的相位为二阶或更低时，Wigner分布函数最适合于时间 - 频率分析。对于这些信号，韦格纳分布可以精确地产生输入信号的时间频率分布。
优缺点
优点：
1.有良好的分辨率，尤其是对单一成分，且瞬时频率变化不为2次式以上。
2.有好的数学运算性质。
3.可用于分析随机程序。
缺点：
1.有相交项(cross term)的问题。
2.需要更多的时间去计算，若讯号时间越长，则需要更久的时间。
3.不是一对一函数，无法辨别相位部分。
4.不适合分析瞬时频率变化为2次式以上的型态。
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