频谱密度

频率的分布曲线

频谱就是频率的分布曲线，复杂振荡分解为振幅不同和频率不同的谐振荡，这些谐振荡的幅值按频率排列的图形叫做频谱。设一个能量信号为s（t），则它的频谱密度S（w）可以由傅里叶变换求得。

相关定义

频谱的定义

任何表现于时间或空间距离上有复杂振动的形式的变量，都可以分解为许多不同振幅和不同频率的谐振，把这些谐振的振幅值按频率（或周期）排列的图形。可用作传送信息的电磁波或振荡的频率集合。

频谱就是频率的分布曲线，复杂振荡可以分解为振幅不同和频率不同的谐振荡，这些谐振荡的幅值按频率排列的图形叫做频谱。广泛应用在声学、光学和无线电技术等方面。频谱是频率谱密度的简称。它将对信号的研究从时域引到频域，从而带来更直观的认识。

频谱密度的定义

设一个能量信号为，则它的频谱密度可以由傅里叶变换求得：。

能量信号的频谱密度和功率信号的频谱主要区别有：（1）频谱密度是连续谱，而功率信号的频谱是离散谱；（2）频谱密度单位是幅度/频率，而功率信号的频谱单位是幅度；（3）能量信号的能量有限，并连续的分布在频率轴上，每个频率点上的信号幅度是无穷小的，只有df上才有确定的非0振幅；（4）功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限多的离散频率点上有确定的非0振幅。

基于FT的频谱函数与频谱函数密度

周期信号的频谱函数

在进行频谱的理论分析时，对周期信号，要用傅氏级数（FS）对其进行处理，得到：，。其中，为周期信号的频谱函数。

在频域坐标系上，幅值-频率图形如图1所示，称为周期信号的频谱图（幅-频图）。由图可见，周期信号的频谱图是离散的，只有在时有值，其幅值与信号具有相同的量纲，且相对应两条谱线（例如n=±3）之和表示该阶谐波（例第三阶）的真实幅值。

非周期信号的频谱密度函数

对非周期信号，则要用傅式变换（FT）对其进行处理，得到：，。称为信号的频谱密度函数。在频域坐标系上，典型的幅值密度-频率图如图2所示，称为信号的频谱密度图。

由图2可见，非周期信号的频谱密度图是连续的。其纵坐标表示信号的幅值密度，而不是谐波的幅值，其量纲是：信号量纲/Hz。

基于FFT信号分析仪上的频谱与功率谱密度

FFT谱

FFT信号分析仪的工作原理是离散傅里叶变换，即DFT。对信号进行DFT，实质上包含几个环节：时域采样（时域离散化）、时域截断（加窗）和频域采样（频域离散化）。根据傅氏变换的性质，在频域采样过程中，实际上是对时域信号的周期化。即此时参与变换的信号不再是原信号，而是以窗宽T为周期的信号。既然是周期信号，经变换后所得到自然是该信号的频谱函数，称之为信号的FFT谱或线性谱。典型的FFT谱如图3所示（单边显示）。

与周期函数的频谱图相似，信号的的FFT谱是离散的，其幅值具有与信号相同的量纲。

功率谱

由于是复函数，在工程应用中不够方便，为此常将其与复共轭相乘，得到其功率谱（PowerSpectrum），即，其中：是的复共轭。功率谱Ps是实函数，是的平方，不仅使用方便而且其特征更加突出。

功率谱密度

当采用不同的频率分辨率进行信号分析时，尽管对其某一信号的功率谱具有相似的波形，但其各点的功率谱值却是不同的，越大，所得到的功率谱值也就越大。这样不便于采用不同分析频段（亦不同）时所得结果间的比较。于是，在信号分析仪上又定义了功率谱密度的概念，即：，式中，为等效滤波器带宽，是用频率分辨率乘以所选窗函数的窄带修正因子。对于矩形窗、力窗和指数窗，=。

能量谱密度

在某些工程中，还要用到能量谱的分析，于是在信号分析仪中又定义能量谱密度，即：，其中：T为所分析信号的时间记录长度。

总结

（1）当对信号进行基于FT的理论分析时，对周期信号傅氏分解，得到其离散化的频谱函数。而对非周期信号，应用傅氏变换，得到的是信号的频谱密度函数。

（2）当使用FFT信号分析仪进行信号分析时。由于DFT的周期化处理，所得到的是信号的频谱函数，而并非频谱密度函数。

（3）在信号分析仪上，功率谱密度是根据频谱函数的运算而得到的，是为了方便工程运算结果的比

较，与理论分析中的频谱密度函数不同。

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