高德纳箭号表示法

数学名词

高德纳箭号表示法是一种专门用于表示极大数值的方法，该方法由著名数学家高德纳于1976年设计并提出。其核心理念深入植根于数学运算的递归性质，即幂运算可以视为重复的乘法，而乘法又可以视为重复的加法。在这一独特的表示体系中，箭头的数量具有特定的意义：n个箭头代表着（n+2）级的超运算。这种表示法不仅为描述和理解大数提供了新的视角，也使得对极高阶运算的表达变得更为简洁明了。例如，表达式4↑↑2在高德纳箭号表示法中，代表着进行4的2级超运算，经过计算，其结果为256。

计算

a↑n1 = a

a↑nb = a↑(n-1)a↑n(b-1)

3↑35 = 3↑23↑34

一个箭头

2↑3=2×2×2=8

2↑4=2×2×2×2=16

3↑3=3×3×3=27

a↑b=

很明显，一个高德纳箭头代表幂。

两个箭头

2↑↑3=2↑2↑2（注意：此处要从右往左计算）=2↑4=16

3↑↑3=3↑3↑3=3↑27= =7625597484987

4↑↑3=4↑4↑4=4↑256≈

两个高德纳箭头代表幂塔。

三个箭头

2↑↑↑3=2↑↑2↑↑2=2↑↑(2↑2)=2↑↑4=2↑2↑2↑2=2↑2↑4=2↑16=65536

3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3=3↑↑(3↑3↑3)=3↑↑(3^3^3)=3↑↑(3^27)

=3↑3↑3↑3......↑3，其中包含［3^(3^3)-1］个箭头，即7625597484986个箭头

=3^(3^(3^(3^(3^(......)......)，共7625597484987层的幂塔，PC计算到从右到左第4层3^1.505416......x10^9391结果溢出不能继续算

a↑↑↑b={a↑↑a↑↑a↑↑......a}b个={a↑a↑a↑a↑......a}^(a^(a^b))={a↑a↑a↑a↑......a}共a^(a^b)个a↑a

={a^(a^(a^(a^(a^(......^a))))).......)}共a^(a^b)层={a^(a^(a^(a^(a^(......^a))))).......)}^a(^(a^b))

四个箭头

a↑↑↑↑b={a↑↑↑a↑↑↑a↑↑↑a↑↑↑a......a↑↑↑a↑↑↑a}共b个a={a↑↑a↑↑a↑↑a↑↑......a}个a，共{a↑↑a↑↑a↑↑a↑↑......a}个a，共{a↑↑a↑↑a↑↑a↑↑......a}个a，...，共{a↑↑a↑↑a↑↑a↑↑......a}个a，共a个a，大括号一共出现b-1次。a↑↑a指的是a的a层指数塔，而a↑↑a↑↑a指的是a的a↑↑a层指数塔，以此类推。a↑↑↑↑b一共有（b-1）包指数塔，每一包指数塔里面有若干座指数塔，前一座指数塔计算结果为后一座指数塔层数，第一包指数塔里有a-1座指数塔，其中第一座指数塔层数为a，第二包指数塔里有（第一包指数塔计算结果减1）座指数塔，其中第一座指数塔层数为a，第三包指数塔里有（第二包指数塔计算结果减1）座指数塔，其中第一座指数塔层数为a，以此类推，一共有(b-1)包指数塔。

葛立恒数

葛立恒数的定义见右边

最下面是g1，＝3↑↑↑↑3＝3↑↑↑3↑↑↑3＝3↑↑↑（3↑↑3↑↑3）

而3↑↑3↑↑3本来就是由7625597484987个3组成的指数塔了。

再来看葛立恒数的第二层，也就是3↑↑↑↑3上面那一层：

g2=3↑↑↑……↑3，（g1个高德纳箭号）

以此类推，共64层，葛立恒数每一层中的箭头个数都由前一层得出。所以葛立恒数简单说来就是一个指数塔的指数塔的箭头塔。

葛立恒数曾经被视为在正式数学证明中出现过最大的数，我们只知道它的后几百位数，其中末位数是7。

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