麦克斯韦速度分布定律

1859年提出的物理学定理

气体处于热动平衡时，气体分子的数目按速度大小分布的定律。

定义

当温度一定时，气体分子速率平方的平均值是一定的。在任何一瞬间，分子的速率大小可能有许多值：有些分子速率为零；而同时又有一些分子的速率比平均速率大得多。究竟某一速率内的分子有多少个，另一速率内的分子又有多少个，可由分子速率分布来说明。当分子数目很大时，速率的分布必然服从一定的统计规律，即速率分布定律。首先由麦克斯韦从理论推出其公式，气体分子速率分布定律的公式，称为麦克斯韦速率分布定律。

历史

1859年，J.C.麦克斯韦首先获得气体分子速度的分布规律，尔后，又为L.玻耳兹曼由碰撞理论严格导出。处于平衡状态下的理想气体分子以不同的速度运动，由于碰撞，每个分子的速度都不断地改变，使分子具有各种速度。因为分子数目很大，分子速度的大小和方向是无规的，所以无法知道具有确定速度U的分子数是多少,但可知道速度在与之间的分子数是多少。它表明：气体在宏观上达到平衡时，虽然个别分子的速度一般都不相同，并且由于相互碰撞而不断发生变化，但平均来说，速度在某一范围内的分子数在总分子数中所占的百分比总是一定的；该比值只与气体的种类及温度有关。

函数式的推导

通过玻尔兹曼能量分布定律，我们很容易导出了分子按速度分布的函数式来，因为分子的动能与其速度之间有如下的关系：

（1-1）

首先考虑分子在一维空间内沿x方向运动的速度分布情况：设分子的质量为m，它在x方向上的速度分量为，现将代入得：

（1-2）

上式即为速度分布函数的表达式，速度分布函数又称为几率密度。

如果将上式在全部速度范围内进行积分，应用归一化条件（即分子在全部速度范围内出现的几率总和应等于1），便可求得上式中的常数A。归一化条件表示如下：

（1-3）

（1-4）

运用以下的标准积分结果：

（1-5）

其中可得（1-4）式的解：

（1-6）

所以

将A值代入（1-2）式中，即得速度分布函数如下：

（1-7）

上式称为Maxwell-Boltzmann速度分布定律，式中的T为绝对温度，K为玻尔兹曼常数（尔格/度）。

下面我们用图形来说明速度分布函数的几何意义：以和u作图，得到右图1所示的曲线，函数表示该曲线的方程式，曲线下方的窄长阴影面积，表示在速度u的附近的单位区间内出现的分子数（dN）占总分子数N的百分率，曲线覆盖的总面积表示分子所占的百分率之总和，该总和应等于1（因为）。

例如氮气分子（分子量为28）在一维空间内运动的分布函数，表示在右图2中，在25℃和在1025℃两种温度下，A值分别为秒/厘米和秒/厘米。由于分子运动正向和反向的机会相等，曲线呈对称形状，其最可几速率为零。

速度分布函数

二维相与三维相的速度分布函数

在二维空间内分子按速度分布的规律，依上述方法可求得速度分布函数如下：

（1-8）

式中的c表示分子在x、y两个方向上的速度分量u和v的组合。当u和v的增量为du和dv时，净速度c由增至c+dc。氮分子在x、y两个方向上的速度分布曲线如图3所示。

在三维空间内所得的分子速度分布定律表示如下：

（1-9）

式中的c表示分子在x、y、z三个方向上的速度分量u、v、w的组合。当u、v、w获得增量du、dv、dw时，速度c相应的由c增加至c+dc。

右图3中的分布曲线，其两端几近于横轴并具有一个极大点，这表明速度最大和最小的分子数目较少，而具有中等速度的分子占总分子数的分数为最大。与曲线的极大点相对应的速度即为最可几速度，用符号来表示。分布函数f(c)与温度和速度的数值有关，我们比较图中的两条曲线可以看出：当温度升高时，曲线的峰值降低并向高速方向移动，这意味着在分子总数目不变的情况下，具有较大速度的分子所占的分数，随温度的升高而增大，由于分布函数与速度呈负指数关系，当速度增大时，速度大的分子所占的分数迅速的下降，但在给定速度下的分子出现几率，具有确定不变的数值。

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