K理论

数学分支

K理论（K-Theory）是数学的一个分支学科，是多个领域使用的一个工具。最早于1957年由亚历山大·格罗滕迪克发现。

简介

在数学中，K理论是多个领域使用的一个工具。

在代数拓扑中，它是一种异常上同调，称为拓扑K理论；在代数与代数几何中，称之为代数K理论；在算子代数中称为算子K理论。它导致了一类K函子构造，K函子包含了有用、却难以计算的信息。

拓扑K理论

设X为紧豪斯多夫空间，记为所有底空间为X的域𝔽上向量丛的同构类集合。利用向量丛的惠特尼和可在上定义加法，利用向量丛的张量积可在其上定义乘法，使有一个交换半环结构。

X的拓扑K理论，记为K(X)，是交换半环的格罗滕迪克环。

早期历史

最早由亚历山大·格罗滕迪克1957年发现，名字取自德文“Klasse”，意为“分类”class ，进而表述为格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理。格罗滕迪克需要在代数簇X的层上工作。不是直接在处理层，他给出了两个构造。首先，他利用直和运算将层的交换幺半群转换成一个群通过取层的分类的形式和以及形式加法逆（这是得到给定函子左伴随的明确方法）。在第二个构造中，他强加以与层扩张一致的额外关系，得到一个现在记作的群。这两个构造都被称为格罗滕迪克群；具有上同调表现而有同调表现。

如果是一个光滑簇，两个群是相同的。

在拓扑学中，我们对向量丛有类似的和构造。迈克尔·阿蒂亚与弗里德里希·希策布鲁赫在1959年使用格罗滕迪克群构造来定义拓扑空间的（两个构造一致）。这是在代数拓扑中发现的第一个奇异上同调理论的基础。它在指标定理的第二证明中起了巨大的作用。此外，这种途径导向了 C*代数的非交换理论。

在1955年，让-皮埃尔·塞尔已经用具有投射模向量丛的类似物来表述塞尔猜想，该猜想声称一个域上多项式环上的投射模是自由模；这个论断是正确的，但知道20年后才解决（斯旺定理是这个类比的另一方面）。1959年，塞尔给出了环的格罗滕迪克群构造，用它来证明投射模是稳定自由的。这个应用是代数K理论之开端。

后期发展

随后一个时期，出现了各种类型的“高阶K理论函子”定义。最后，两种有用的等价定义由丹尼尔·奎伦在1969年与1972年用同伦理论给出。另一种变体也由弗里德海姆·瓦尔德豪森为了研究“空间的代数K理论”提出，这与伪同痕的研究有关。大多数现代高阶K理论研究与代数几何和主上同调有关。

带有一个辅助的二次型的相应构造具有一般名字L-理论。它是割补理论的主要工具。

在弦理论中，拉蒙-拉蒙场强与稳定D-膜电荷的K理论分类在1997年首次提出。

物理学应用

在物理学中，K理论特别是扭曲K理论出现在II型弦理论，其中猜测它们可分类D-膜、拉蒙-拉蒙场强以及广义复流形上某些旋量。

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