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中心化子

数学用语

中心化子（centralizer）是一个数学用语。

定义
群G的一个元素a的中心化子（记作CG(a)）是G的和a可交换的元素的集合；换句话说，CG(a) = {x属于G:xa=ax}。若H为G的子群，则CH(a) = CG(a) ∩H。如果没有歧义，则可以将CG(a)记作C(a)。
更一般地，令S为G的任意子集（不必是子群）。则S在G中的中心化子定义为C(S) = {x属于G：对于所有s属于S,xs=sx}。若S= {a}，则C(S) = C(a)。
C(S)是G的子群；因为若x、y属于 C(S) ，则对每个s属于S，xy-1s=xsy-1=sxy-1。于是xy-1属于 C(S)。
群的中心
群G的中心是CG(G)，通常记作Z(G)。一个群的中心既是正规子群也是交换群，而且有很多其它重要属性。我们可以将a的中心化子视作最大的（用包含关系为序）G的子群H，满足a属于其中心Z(H)的条件。
正规化子
一个相关的概念是，S在G中的正规化子，记作NG(S)或者N(S)。正规化子定义为N(S) = {x属于G:xS=Sx}。同样的是，N(S)可以视作G的子群。正规化子的名字来源于如果我们令为一个由S生成的子群，则N(S)是最大的满足包含为其正规子群的G的子群。在其中为正规子群的最小的G的子群称为共轭闭包。
G的子群H称为G的子正规化子群，如果NG(H) =H.
性质
若G是交换群，则任何G的子集的中心化子和正规化子就是G的全部；特别是，一个群可交换，当且仅当Z(G) =G。
若a和b是G的任意元素，则a在C(b)中，当且仅当b在C(a)中，这有当且仅当a和b可交换。 若S= {a}则N(S) = C(S) = C(a)。
C(S)总是N(S)的正规子群：若c属于C(S)而n属于N(S)，我们要证明ncn-1属于C(S)。为此，取s属于S并令t=nsn-1。则t属于S，所以ct=tc。注意到ns=tn；以及n-1t=sn-1。我们有
(n-1cn)s= (n-1c)tn= (n-1(tc)n= (sn-1)cn=s(n-1cn).
这也就是要证明的命题。
若H是G的子群，则N/C定理表明因子群N(H)/C(H)同构于Aut(H)（H的自同构群）的子群。
因为NG(G) =G，N/C定理也意味着G/Z(G)同构于Inn(G)（由所有G的内自同构组成的Aut(G)的子群）。
如果我们通过T(x)(g) =Tx(g) =xgx定义群同态T:G→ Inn(GG上的群作用来表述N(S)和C(S)：S在Inn(G)中的定点子群就是T(N(S))，而Inn(G)中固定S的子群就是T（C(S)）。
若X是李代数L的子集，则X的中心化子CL(X)={x∈X|[xX]=0}。CL(X)为L的子代数。
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