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换位子群

数学术语

在抽象代数中，一个群的换位子群或导群，是指由这个群的所有交换子所生成的子群，记作[G,G]、G′或G(1) 。每个群都对应着一个确定的交换子群。在一个群G的所有正规子群中，交换子群G′是使得G对它的商群为交换群的最小子群。在某种意义上，交换子群提供了群G的可交换程度。因为从交换子的定义:，如果x与y交换，那么[x,y]=e。一个群内可交换的元素越多，交换子就越少，交换子群也就越小。可交换群的交换子群为平凡群{e}。

定义
给定一个群G，G的交换子群或导群： [G,G]、G′或G是G的所有交换子所生成的子群：
类似地可以定义高阶的导群。
，其中n是整数。
可以证明，如果存在自然数 n 使得 那么G是可解群。
商群G/[G,G]是一个阿贝尔群，叫做G的阿贝尔化子群，通常记作G。G的阿贝尔化子群就是G的一阶同调群。
[G,G]=G的群叫做完美群，这是与阿贝尔群相对的概念。完美群的阿贝尔化子群是单位群{e}。
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