代数曲线

代数几何的概念

代数曲线，是代数几何的一个基本概念。一维代数簇称为代数曲线。任意一条代数曲线都可通过正规化把奇点解消，成为一条光滑曲线。再完备化后就得到一条光滑射影代数曲线。由于光滑射影曲线间的双有理映射必定是同构映射，因此代数曲线的双有理分类问题可以归结为光滑射影代数曲线的双正则(即同构)分类问题。

概念

代数曲线是代数几何的一个基本概念。一维代数簇称为代数曲线。任意一条代数曲线都可通过正规化把奇点解消，成为一条光滑曲线。再完备化后就得到一条光滑射影代数曲线。由于光滑射影曲线间的双有理映射必定是同构映射，因此代数曲线的双有理分类问题可以归结为光滑射影代数曲线的双正则(即同构)分类问题。

以下只考虑复数的情形。这时，复光滑射影代数曲线与紧黎曼面之间有一个一一对应的关系。再考虑这个紧黎曼面上的半纯函数域，就得到了一个C的超越次数等于1的扩域。反之，从C的一个超越次数等于1的扩域出发，可以定义一条抽象射影代数曲线.这就是著名的“三位一体”：光滑射影代数曲线、紧黎曼面以及复数域上超越次数为1的有限生成扩域实质上是同一个对象的三种不同表现方式。从而代数曲线的最重要的数值不变量——亏格也可用各种不同的方式来定义：它既是一个拓扑不变量，也是一个可由紧黎曼面上的整体全纯微分形式空间的维数或以结构层的第一级上同调空间的维数来定义的代数不变量。

黎曼(Riemann，(G.F.)B.)首先考虑了亏格g的所有紧黎曼面的参量空间问题，并发现这个参量空间的维数是3g-3(当g≥2时)，但黎曼未能严格证明它的存在性。

20世纪中期，由于芒福德(Mumford，D.B.)等人的工作，人们对代数曲线参量空间簇Mg已经有了较深入的了解。芒福德把格罗腾迪克(Grothendieck，A.)的概形理论用到古典的不变量理论，创立了几何不变量理论，并且，用它证明了Mg的存在性及拟射影性。

人们对Mg的结构已有了深入的研究，例如：当g≥23时，Mg是一般型的；当g≤13时，Mg是单有理的。人们猜测，当g<23时，Mg是单直纹的。

黎曼

黎曼是德国数学家。生于德国汉诺威 (Hannover) 的布雷塞伦茨(Breselenz)，是牧师之子，在哥廷根 (Gottingen) 大学和梅林大学学习，1851年在哥廷根大学获得博士学位，1854年任该大学兼职讲师，1857年任副教授，1859年作为P. G. L. Dirichlet的继承人任教授。因患肺病，英年早逝。短短一生中，在数学各个领域作出了划时代的贡献。最重要的贡献有四个方面：几何学、复变函数论、微分方程和数学分析的基本理论。他是黎曼几何的创始人，复变函数理论创始人之一。在数学分析方面，他给积分下的标准定义，一直沿用至今，以至于这种意义下的古典积分叫作“黎曼积分”。

黎曼还对傅立叶级数理论做了许多研究，其中最著名的就是以他的名字命名的定理。黎曼对偏微分方程和常微分方程理论，特别是常微分方程的奇点理论，也都创造了一些重要的方法。

黎曼还十分关注自然科学，特别是物理学。他的复变函数和微分方程研究都直接与流体力学和电磁理论相联系，著名的数学家克莱因曾在《19世纪数学发展讲义》一书中指出： “黎曼用他的数学才能为自然科学本身开辟新的途径。然后又把自然科学作为形成数学中的新概念的动力”。

亏格

亏格是代数几何和代数拓扑中最基本的概念之一。定义：若曲面中最多可画出n条闭合曲线同时不将曲面分开，则称该曲面亏格为n。

以实的闭曲面为例，亏格 g 就是曲面上洞眼的个数。

拓扑不变量

每条代数曲线都自带了一个数值不变量－－－亏格g. 从实流形角度看，亏格就是其上“洞”的个数。

按照亏格的大小，我们可以将代数曲线分类。比如：

g=0 就称为射影直线；

g=1 称为椭圆曲线；

g=2 的曲线都是超椭圆曲线；

g>2 的曲线中存在非超椭圆曲线。

研究方法

模空间观点

具有同样亏格的曲线的等价类组成的集合称为曲线模空间。比如

g=0的曲线模空间是由一个点组成；

g=1的椭圆曲线模空间是复上半平面中的一个区域，等等。

曲线的模空间是代数几何里最重要的一类几何对象。

函数观点

我们可以考虑定义在代数曲线上的半纯函数。半纯函数的零点和极点的集合是由有限个点组成。我们把这个集合称为主除子。更一般的，我们可以定义除子的概念，这里不再详述。

除子概念是曲线论里最基本的概念。与其相关的一个重要结果就是所谓的黎曼洛赫定理。这个定理把分析和拓扑巧妙的联系起来，揭示出两者间的深刻关系。