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代数系统

数学名词

非空集合A和A上k个一元或二元运算f1，f2，…，fk组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记作(A，f1，f2，…，fk)。由定义可知，一个代数系统需要满足下面3个条件：(1)有一个非空集合A；(2)有一些建立在集合A上的运算；(3)这些运算在集合A上是封闭的。有的书上对代数系统定义时不要求运算的封闭性，而是把具有封闭性的代数系统定义为一个新的概念-广群。

基本介绍
代数系统(algebra system)是建立在集合上的一种运算系统。它是用运算构造数学系统的一种方法，因此称代数系统。而运算则是一种函数，因此也是一种关系。因此我们说，代数系统是用系统观点研究运算的一种数学，它是关系研究的另一种方法。
代数系统是初等代数和高等代数的一种扩展与抽象的系统。在代数系统中有四个重要概念：运算、系统、运算规则及个体系统。下面对它们进行介绍。
运算
运算是代数系统的基本概念。在初等代数中有 等四则运算，更进一步有乘方、开方、指数、对数等运算。而将其扩展至线性代数、高等代数中有向量运算、矩阵运算及行列式运算等。在这里我们将运算作更为抽象的扩充，使运算不仅包含前面的所有运算，而且还具有更普遍的含义。
我们说：运算是建立在集合S上的n元函数。它可以表示为 。这个 称为n元运算。当 时称为一元运算，当 时称为二元运算，而当 时就称为多元运算。
这种运算定义具有更广泛的意义。例如，在计算机中“字符串”的拼接、分解等均为运算；“图形”中的放大、缩小及旋转、移位等均属运算。有了这种扩展性质的运算后，客观世界(包括计算机世界)中多种“处理手段”都可抽象为运算，从而都可以纳入代数系统的讨论范围。因此我们说：运算是对客观世界对象的一种加工手段与工具。
代数系统
有了运算后就可以建立系统。这种系统称为代数系统。它由三部分组成：
(1) 一个非空集合。
(2) 有k个S上的运算——。
(3) 运算封闭性——即S中元素经运算后的结果仍在S中。
这三者组成代数系统：。
代数系统的三个条件给出了一个完整系统的基本要素，即加工对象、加工工具和基本约束。这里所定义的代数系统是一种具有普遍意义的表述，一般常用的是以二元运算为主(一元运算较少见，多元运算基本不用)，而在一个系统中一般仅包含一个或两个运算为多见。
下面给出一些代数系统的例子。
【例1】自然数集N及其“+”运算组成代数系统，即是代数系统。
【例2】实数集R及其运算组成代数系统。
【例3】有限个字母组成的集合X，在其上可以构造字母串(称为句子)，它们构成的集合称为，对构造一个并置运算“”；设，则，这样，与“”所构成的是代数系统。
代数系统用系统的观点研究数学，将不同集合与运算构成不同的系统以分门别类研究。
运算规则
代数系统是以运算为中心的一种系统。因此，讨论代数系统首先要讨论运算的规律。运算一般有下面这些主要规律。对有：
(1) 结合律：若，则有。
(2) 交换律：若，则有。
(3) 单位：S中存在唯一一个元素e，对任一，必有，e称为运算的单位(素)。
(4) 零元：S中存在唯一一个元素0，对任一，必有，0称为运算的零元(素)。
(5)逆元：对S中元素，若存在唯一一个元素，有称为的逆元(素)。
(6) 对有分配律。若，均有：
则称运算与满足分配律。
【例4】整数集及其运算“+”所组成的代数系统满足结合律、交换律，并存在单位0，且每个整数必有逆元，如+3之逆元为3；-7之逆元为+7；0的逆元为0等。
【例5】代数系统满足结合律、交换律，且存在单位1。
著名代数系统
在代数系统中可以按运算的性质不同划分成为多个个体系统作研究。常用的有：
群(group)
代数系统如满足结合律，有单位与逆元，则称为群。
群是代数系统中研究具一个二元运算的代表性系统。
环(ring)
代数系统如满足是群，且满足交换律，满足结合律，中对+满足分配律，则称为环。
环是代数系统中有两个二元运算且运算性质不对称的代表性系统。
布尔代数
代数系统如对+与都满足交换律、分配律，有单位与零元，且对一个一元运算“”有，则该系统称为布尔代数。
布尔代数是有两个二元运算及一个一元运算的典型代数系统。它在计算机中有重要应用。
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