伴随表示

代数群的表示

伴随表示(adjoint representation)是代数群的一种表示，指代数群在它的李代数上的一个典范表示。设G是代数群，g是它的李代数，G在g上的伴随表示定义为Ad：G→Aut(g)⊂GL(g)：对g∈G与X∈g，Adg(X)=ρgXρg-1。例如，当G=GL(n,K)时，对g∈G与X∈g=gl(n,K)，有Adg(X) =gXg-1(矩阵乘法)。

定义

给定李群G，g∈G，则g对应的共轭为李群同态τg:=Lg○Rg-1:G→G，由于G的李代数𝖌同构于TeG，故τg*e∈GL(𝖌)，记为Adg。则Ad:G→GL(𝖌)为李群同态，称为G的伴随表示。

Ad:G→GL(𝖌)于单位处的导数为李代数𝖌的伴随表示ad:𝖌→𝖌𝖑(𝖌)，即对∀U∈𝖌，adU=Ad*eU，故有adUV=[U,V]。

等价定义

表示

定义1，设𝖌是域F上的李代数，V是域F上的线性空间，𝖌𝖑(V)是V上的一般线性代数。如果存在一个线性映射ρ：

并且满足条件：

则称(ρ,V)是李代数𝖌的表示，其中ρ称为表示变换（也常简称为表示），V称为表示空间（也称为𝖌模），V的维数 dim V 称为表示维数。

如果dim V <∞，(ρ,V)称为𝖌的有限维表示。如果 dim V=∞，(ρ,V)称为𝖌的无限维表示。

定义2，设(ρ,V)是李代数𝖌的表示，如果ρ(x)=0当且仅当x=0，则称(ρ,V)是𝖌的忠实表示。若 dim V<∞，则(ρ,V)称为𝖌的有限维忠实表示。

伴随表示

Ado定理，每一个特征0的域上的有限维李代数𝖌都有一个忠实的有限维表示。

其实，每一个李代数𝖌都有一个很自然的，以其自身作为空间的表示，这就是下面的伴随表示。

设𝖌是李代数，取定x∈𝖌，定义 ad x 在𝖌上的作用如下：

由于[·,·]是双线性的，当y跑遍𝖌时，x就决定了𝖌上的一个线性变换ad x（这个线性变换的作用空间为𝖌，有时为了强调这一点，将它表示为 ad𝖌 x，但在大多数情况下，只要不会引起误会，为了简化符号就把加注的𝖌省略掉，而直接写成ad x）。于是

是作用在向量空间𝖌上的线性变换的集合。易见

所以

是𝖌到ad 𝖌的线性映射。

根据定义1知，是𝖌的表示，表示空间为𝖌自身，表示变换为ad（称为伴随变换或伴随作用），将此表示记为(ad,𝖌)，称之为𝖌的伴随表示。

伴随表示的性质

（1）伴随表示的核是𝖌的中心，即Ker(ad)=Z(G)，因此

其中Z(G)为G的中心。

（2）𝖌是中心为0的李代数，当且仅当。

预备知识

群

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构;是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

代数几何

研究多项式方程组在仿射或射影空间里的公共零点集合的几何特性的数学分支学科.换言之，它是研究代数簇的.代数几何与许多其他数学分支有着密切的联系.通常假设代数簇V中点的坐标在某个固定域k中选取，k称为V的基域.V为不可约(即V不能分解成两个比它小的闭代数子簇的并)时，V上所有有理函数(即两个多项式的商)全体也构成一个域，称为V的有理函数域，它是k的一个有限生成扩域.通过这样的一个对应关系，代数几何可以看成是用几何的语言和观点来研究有限生成扩域.

代数几何的基本问题就是代数簇的分类.包括双有理分类与双正则分类(即同构分类).若一个代数簇V1到另一个代数簇V2的映射诱导了函数域之间的同构，则称该映射为双有理映射.设有两个代数簇V1，V2，若V1中有一个稠密开集同构于V2的一个稠密开集，则称V1，V2是双有理等价的.这等价于V1和V2的函数域之间的同构.按这个等价关系对代数簇进行分类就称为双有理分类.分类理论是这样建立的：首先，找出代数簇的双有理等价类;其次，在这个等价类中找到一个好对象的子集，如非奇异射影簇，对它们进行分类;第三步就是确定一个任意簇与这些好的对象相差多远.因为任意特征0的基域上的代数簇都双有理等价于一个非奇异射影簇，所以为实现这三步，人们往往先找一组与非奇异射影簇对应的整数，称为它的数值不变量.例如，在射影簇的情形，它的各阶上同调空间的维数就都是数值不变量.然后试图在所有具有相同的数值不变量的代数簇的集合上建立一个自然的代数结构，称为它们的参量簇，使得当参量簇中的点在某个代数结构中变化时，对应的代数簇也在相应的代数结构中变化，只有代数曲线、一部分代数曲面以及少数特殊的高维代数簇有较完整的分类。

代数群

代数群（Algebraic group）是具有某种拓扑结构的群。代数群理论是群论与代数几何学结合的产物，可以看成李群理论的推广或者同李群理论平行的一个群论分支。若G是代数闭域K上的代数簇，又具有群的结构，且乘法运算G×G→G(这里的“×”表示簇的扎里斯基(Zariski，O.)积)与求逆运算G→G都是簇的态射，则称G为代数群。若G作为簇是不可约的，则称此代数群是连通的。代数群的闭子簇若同时也是个子群，则称为闭子群，它仍是个代数群。代数群关于它的正规闭子群的商群也是个代数群。例如，K上n级一般线性群(K上n级非奇异矩阵全体所成的群)GL(n，K)是代数群；K上n次特殊线性群(K上行列式1的n阶矩阵全体所成的群)SL(n，K)是GL(n，K)的闭子群。若代数群G的簇结构是仿射的，则称G为仿射代数群或线性代数群。采用后一术语的理由是，这种群都同构于某个GL(n，K)的闭子群.若G的簇结构是完备的，则称G为阿贝尔簇。阿贝尔簇的群结构很简单(都是阿贝尔群)，且被簇结构惟一决定，因此它的研究属于代数几何学的范畴。另一方面，对任意代数群G，总可以惟一地找到一个正规的仿射闭子群N，使G/N是阿贝尔簇。因此，代数群理论研究的主要是仿射的(即线性的)代数群，并把仿射代数群简称代数群。代数群及其表示理论与域论、多重线性代数、交换环论、代数几何、李群、李代数、有限单群理论以及群表示理论等数学分支都有十分密切的联系，是近年来代数学的一个相当活跃的分支。

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