多重线性代数

数学术语

在数学中，多重线性代数推广了线性代数的方法。和线性代数一样也是建立在向量的概念上，发展了向量空间的理论。在应用上，出现了许多类型的张量。该理论全面囊括了一系列空间以及它们之间的关系。

简介

多重线性代数代数学的一个重要分支，可以将它看成是线性代数的发展。它是伴随着量子力学、群表示论、微分几何、现代分析等学科发展起来的，并且在这些学科中已得到重要的应用。

多重线性代数以建立在若干个向量空间的笛卡儿积上的各种多重线性的代数结构为研究对象，如多重线性映射、具有某些对称性质的多重线性映射、张量代数、张量对称类、格拉斯曼代数、外代数、克利福德代数等。

多重线性代数这部分词条中的向量空间的基域的特征一般都假定为O，但当关系到内积或群的任意特征标时，为了叙述简明，也只在复数域上讨论。值得提出的是，域上多重线性代数的主要概念及结果都可以用模论的工具推广到交换环上。

历史背景

这个学科本身有许多不同的起源可以追溯到十九世纪的数学，但是称之为张量分析，或张量计算或张量场。张量在微分几何、广义相对论以及许多应用数学分支中的应用发展起来。大约在20世纪中叶，张量的研究转向抽象。布尔巴基学派的专著《多重线性代数》特别流行；事实上，也许“多重线性代数”便是由此发明的。

原因之一是当时在同调代数这个新领域的应用。20世纪40年代代数拓扑的发展给纯代数方式处理张量积注入了新的活力。两个空间的积同调群的计算涉及到张量积；但是只在最简单的情形，比如环面是直接算出来的（参见万有系数定理）。细微的拓扑现象要求一种更好的概念；从技术上说，需要定义Tor函子。该材料组织得很广泛，包括追溯到赫尔曼·格拉斯曼的想法，从微分形式理论导致了德拉姆上同调中的想法，以及一些更初等的想法比如楔积（推广了叉积）。

布尔巴基将结论以相当苛刻的方式，完全拒绝向量分析中一种处理方式（四元数方法，即，在一般情形，和李群的关系）。他们转而应用一种利用范畴论的新方式，从李群处理方式的观点来看是一种独立的方法。由于这导致了一种更清晰的处理方式，它们可能在纯数学术语中没有对应物。（严格地说，涉及到泛性质方式；这似乎比范畴论更一般，而这两个交替方式的关系也在同一时间被理清了。）

事实上他们所做的是准确的解释了“张量空间”是将多重线性问题简化为线性问题的建构。这种纯代数挑战没有提供几何直观。

将问题重新表述成多重线性代数术语是有好处的，这里有清楚的和良定义的“最好解”：解的限制恰好是你事实上所需要的。一般没有必要引入任何特殊的构造，几何概念或依赖于坐标系。在范畴理论术语中，一切都是完全自然的。

方法总结

原则上抽象方法可以重新获得通过古典方法得到的一切。在实践中可能并不简单。另一方面，“自然”这一概念和广义相对论中的广义协变性原理一致。后者处理张量场（流形上逐点变化的张量），但是协变性断言张量语言对广义相对论的恰当表述是不可缺少的。

几十年以后，来自范畴论中相当抽象观点与20世纪30年代赫尔曼·外尔（在他有名的和非常难的著作《经典群》）发展的方法密切相关。在某种方式上，这使理论成为一个圆圈，再次连接了新旧两种观点。

应用观点

多重线性代数以多种不同的形态出现在应用中：

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