范畴论

数学分支

范畴论是抽象地处理数学结构以及结构之间联系的一门数学理论，以抽象的方法来处理数学概念，将这些概念形式化成一组组的“对象”及“态射”。范畴论出现在很多数学分支中，以及理论计算机科学和数学物理的一些领域。

背景

研究范畴就是试图以“公理化”的方法抓住在各种相关连的“数学结构”中的共同特性，并以结构间的“结构保持函数”将这些结构相关起来。因此，对范畴论系统化的研究将允许任何一个此类数学结构的普遍结论由范畴的公理中证出。

考虑下面的例子：由群组成的类Grp包含了所有具有“群结构”的对象。要证明有关群的定理，即可由此套公理进行逻辑的推导。例如，由公理中可立即证明出，群的单位元是唯一的。

不是只专注在有特定结构的个别对象（如群）上，范畴论会着重在这些对象的态射（结构保持映射）上；经由研究这些态射，可以学到更多关于这些对象的结构。以群为例，其态射为群同态。两个群间的群同态会严格地“保持群的结构”，这是个以将一个群中有关结构的讯息运到另一个群的方法，使这个群可以看做是另一个群的“过程”。因此，对群同态的研究提供了一个得以研究群的普遍特性及群公理的推论的工具。

类似的研究也出现在其他许多的数学理论中，如在拓扑学中对拓扑空间的连续映射的研究（相关范畴称为Top），及对流形的光滑函数的研究等。

函子

再抽象化一次，范畴自身亦为数学结构的一种，因此可以寻找在某一意义下会保持其结构的“过程”；此一过程即称之为函子。函子将一个范畴的每个对象和另一个范畴的对象相关连起来，并将第一个范畴的每个态射和第二个范畴的态射相关联起来。

实际上，即是定义了一个“范畴和函子”的范畴，其元件为范畴，（范畴间的）态射为函子。

经由研究范畴和函子，不只是学习了一类数学结构，及在其之间的态射；还学习了“在不同类型的数学结构之间的关系”。此一基本概念首次出现于代数拓扑之中。不同的“拓扑”问题可以转换至通常较易解答的“代数”问题之上。在拓扑空间上如基本群或基本广群等基本的架构，可以表示成由广群所组成的范畴之间的基本函子，而这个概念在代数及其应用之中是很普遍的。

自然变换

再抽象化一次，架构通常会“自然地相关联”，这个第一眼会觉得很暧昧的概念，产生了自然变换（将一个函子映射至另一函子的方法）此一清楚的概念。许多数学上的重要架构可以从此一角度来研究。

历史注记

范畴，函子和自然变换是由塞缪尔·艾伦伯格和桑德斯·麦克兰恩在1945年引进的。这些概念最初出现在拓扑学，尤其是代数拓扑里，在同态（具有几何直观）转化成同调论（公理化方法）的过程中起了重要作用。乌拉姆说，在1930年代的后期，波兰学派中曾出现类似的想法。

艾伦堡和麦克兰说，他们的目的在于理解自然映射；为此，必须定义函子；为了定义函子，就自然地要引进范畴。

同调代数由于计算上的需要而使用范畴论，这对范畴论起到了推进作用；此后范畴论又在代数几何的公理化过程中得到发展。代数几何与罗素、迪恩·怀特海德的关于数学统一性基础的观点相抵触。广义范畴论更容纳了语意灵活性和高阶逻辑等多种新特征的泛代数，现今被运用到数学的许多分支。

特殊范畴拓扑斯甚至可以代替公理集合论作为数学的基础。然而范畴论对这些范围广泛的基础应用还是有争议的；但作为构造性数学的基础或注释，范畴论被研究的相当透彻。尽管如此，可以说，尤其是公理集合论，至今仍然是数学家们的通用语言，并没有被范畴论的注释所取代。将范畴论引入大学程度的教学这一倡议，还是遭到了相当的反对。

范畴逻辑是直觉逻辑中类型论的一个被明确定义的分支，在计算机学科的函数式编程和域理论中均有应用，并且都是在笛卡尔闭范畴中对λ演算的非句法性描述。至少，用范畴论可以精确地描述在这些相关的领域里什么是共同的（在抽象的意义上）。

范畴分类

在许多范畴中，态射集合 Mor(A,B) 不仅仅是集合，实际上是交换群，态射的复合具有群结构，也就是说是双线性的。这种范畴被称为预加性范畴。如果这种范畴还具有所有有限的积和余积，则称为加性范畴。如果所有具有一个核和一个余核，那么所有满射都是余核，所有单射都是核，我们称此为阿贝尔范畴。阿贝尔范畴的一个典型的例子是交换群所组成的范畴。

1.一个范畴被称为是完备的，如果所有极限存在。集合，交换群和拓扑空间的范畴是完备的。

2.一个范畴被称为是笛卡儿闭性的，如果它具有有限直积，并且一个定义在有限乘积上的态射总是可以表示成定义在其中一个因子上的态射。

3.一个拓扑斯是一种特殊的笛卡儿闭范畴，在其中可表述（公理化）所有的数学结构（就象传统上使用集合论可以表示所有数学结构）。一个拓扑斯也可以用来表述一个逻辑理论。

4.一个广群是这样一种范畴，其中每一个态射都是一个同构。广群是群、群作用和等价关系的推广。

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