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几何数论

数学术语

几何数论又称数的几何，应用几何方法研究某些数论问题的一个数论分支。在数论中，几何数论研究凸体和在n维空间整数点向量问题。几何数论于1910由赫尔曼·闵可夫斯基创立。几何数论和数学其它领域有密切的关系，尤其研究在函数分析和丢番图逼近中，对有理数向无理数逼近问题

简介
几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。主要在于透过几何观点研究整数（在此即格点）的分布情形。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。最著名的定理为闵可夫斯基不等式（Minkowski 定理）。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才可以深入研究。
历史
17～18世纪间，J.-L.拉格朗日和C.F.高斯等就已开始以几何观点研究二次型的算术性质。
1891年，闵科夫斯基发表了关于几何数论的第一篇论文，并于1896年出版了《数的几何学》一书。从此，数的几何成为数论的一个独立分支。
近现代研究
在1930年至1960年的很多数论学家取得了很多成果（包括路易·莫德尔，哈罗德·达文波特和卡尔·路德维希·西格尔）。近年来，Lenstra，奥比昂，巴尔维诺克对组合理论的扩展对一些凸体的格数量进行了列举。
施密特子空间定理；
在几何数论的子空间定理，由沃尔夫冈·施密特在1972年证明；
设n是正整数，如果n个n维线性型L1,...,Ln都具有代数系数，并且是线性无关的，那么对于任何给定的实数ε> 0，所有满足条件: 的n维非零整数点x都在有限多个Q的真子空间内。
重要结论
闵可夫斯基定理，有时也被称为闵可夫斯基第一定理：
假设Γ是在n维欧氏空间R的格和K是中心对称凸体， ，则K包含Γ非零的向量。
闵可夫斯基第二定理，是他的第一定理加强。定义K数字λ最大下界，为 λk，称为连续最低。
则λK在Γ中ķ线性无关，则有：
影响
始于闵可夫斯基的几何数论函数分析上产生深远的影响。闵可夫斯基证明，对称凸体诱导有限维向量空间的范数。 ，闵可夫斯基定理由柯尔莫哥洛夫，推广到拓扑向量空间。柯尔莫哥洛夫指封闭的，有界对称凸集生成Banach空间拓扑。当前Kalton et alia. Gardner对星形集和非凸集取得了一些成果。
数的几何是研究丢番图逼近、代数数论的重要工具。
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