凯勒流形

数理科学术语

在数学中，一个凯勒流形（Kähler manifold）是具有满足一个可积性条件的酉结构（一个U(n)-结构）的流形。特别地，它是一个黎曼流形、复流形以及辛流形，这三个结构两两相容。

概念

这个三位一体结构对应于将酉群表示为一个交集：

若没有任何可积性条件，类似的概念是一个殆埃尔米特流形。如果辛结构是可积的（但复结构不要求），则这个概念是殆凯勒流形；如果复结构是可积的（但辛结构不要求），则为埃尔米特流形。

凯勒流形以数学家埃里希·凯勒命名，在代数几何中占有重要的地位：它们是复代数簇的一个微分几何推广。

定义

带有一个埃尔米特度量的流形是殆埃尔米特流形；凯勒流形是带有满足一个可积性条件的埃尔米特度量的流形，它有多种等价的表述。

凯勒流形可以多种方法刻画：它们通常定义了具有一个附加结构的复流形（或具有附加结构的辛流形，或具有附加结构的黎曼流形）。

可以将这三个结构之间的联系总结为，这里 h 是埃尔米特形式，g 是黎曼度量，i 是殆复结构，而是殆辛结构。

复流形 M 上一个凯勒度量是切丛上一个埃尔米特度量，满足一个有多种等价刻画的条件（最几何的方式是由度量诱导的平行移动在切空间上给出复线性映射）。利用局部坐标它规定如下：如果

是埃尔米特度量，则伴随的凯勒形式定义为（在差一个因子i/2 的意义下）

是闭的：即 dω = 0。如果 M 带有这样一个度量则称之为凯勒流形。

凯勒流形上的度量局部满足

对某个函数 K，称为凯勒势。卡拉比率先考虑了凯勒流形上的微分几何问题，特别是典则度量（包括凯勒-爱因斯坦，常数量曲率凯勒度量和极值度量）的存在性与唯一性问题。丘成桐于七十年代取得了突破性进展，近年来此问题取得了数学界极其广泛的关注，属于微分几何中的中心问题之一。

一个凯勒流形，伴随的凯勒形式和度量叫做凯勒-爱因斯坦（Kähler-Einstein，有时也叫爱因斯坦-凯勒）的当且仅当其里奇张量与度量张量成比例，，对某个常数 λ。这个名称是为了纪念爱因斯坦关于宇宙常数的考虑。

例子

1、复欧几里得空间带着标准埃尔米特度量是一个凯勒流形。

2、环面 /Λ（Λ 为一完全格）由上继承一个平坦度量，从而是一个紧致凯勒流形。

3、黎曼曲面上每个黎曼度量是凯勒的，因为ω闭的条件在（实）2 维是平凡的。

4、复射影空间有一个齐性凯勒度量，富比尼–施图迪度量。向量空间上一个埃尔米特形式定义了GL(n+1,C) 中一个酉子群；一个富比尼–施图迪度量在差一个位似（整体缩放）的意义下由这样一个 U(n+1) 作用下的不变性决定；由初等线性代数，任何两个富比尼–施图迪度量在的一个投影自同态下是等距的，故无需言明通常就说富比尼–施图迪度量。

5、一个凯勒流形的复流形上的诱导度量是凯勒的。特别地，任何施坦流形（嵌入）或代数簇（嵌入）是凯勒型的。这对它们的分析理论是基本的。

6、单位复球体有一个凯勒度量叫做伯格曼度量，具有常全纯截面曲率。

7、每个K3曲面是凯勒的（得自萧荫堂的一个定理）。

凯勒流形的一个重要子类是卡拉比–丘流形。

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