列维-奇维塔符号

数学术语

列维-奇维塔符号（Levi-Civita symbol），特别在线性代数，张量分析和微分几何等数学范畴中很常见到，用以表示数字的集合；是对于1, 2, …, n中某个正整数n所形成排列的正负符号来定义。它以意大利数学家和物理学家Tullio Levi-Civita命名。其它名称包括排列符号，反对称符号或交替符号，是有关于反对称的属性与排列的定义。

简介

列维-奇维塔符号（Levi-Civitasymbol），特别在线性代数，张量分析和微分几何等数学范畴中很常见到，用以表示数字的集合；是对于1,2,…,n中某个正整数n所形成排列的正负符号来定义。它以意大利数学家和物理学家TullioLevi-Civita命名。其它名称包括排列符号，反对称符号或交替符号，是有关于反对称的属性与排列的定义。

希腊小写字母ε或ϵ是表示列维-奇维塔符号的标准记号，较不常见的也有以拉丁文小写e记号。下标符能与张量分析兼容的方式来显示排列：

其中每个下标i1,i2,...,in取值为1,2,...,n。有n个索引值为εi1i2…in，可以排成为n-维阵列。

这个符号的关键定义是全部索引中的完全反对称性。当任何两个索引互换、相等或否定时，则符号的正负即有变化：

如果两个索引相等，则此符号变为0。当全部索引都不相等时，我们有：

其中p（称为排列的奇偶性质）是要将i1,i2,...,in回复1,2,...,n的自然次序时，而索引所需的对换次数，而因子(−1)被称为排列的符号。ε12...n的值必须有定义，否则所有排列的特定符号值是无法确定的。大多数作者选择ε12...n=+1，表示列维-奇维塔符号等于各别索引不相等时的排列符号，在本文中使用这个定义。

“n-维列维-奇维塔符号”一词是指符号n上的索引数，和所讨论的向量空间维度相符，可以是欧几里得或非欧几里得空间，例如，ℝ或闵可夫斯基空间。列维-奇维塔符号的值与任何张量和参考坐标系无关。此外，特别固定的“符号”强调，它并不因为在坐标系之间如何变换而就是某一个张量；然而，它可以被理解为张量的密度。

列维-奇维塔符号让我们可使用索引符号来表示方阵的行列式，及三维欧几里德空间中的两个向量的叉积。

定义

列维-奇维塔符号最常用于三维和四维，并在一定程度上用于二维，因此在定义一般情况之前给出这些符号。

二维

在二维中，列维-奇维塔符号定义如下：

这些值可以排列成2×2反对称矩阵：

二维的列维-奇维塔符号的使用，相对于其它维度并不常见，虽然在某些专门的主题，如超对称和二极管理论，它出现在2-旋量的上下文中。三维以上的列维-奇维塔符号更常用。

推广到n维

更一般地推广到n维中，则列维-奇维塔符号的定义为：

若a1,a2,....,an是1,2,...,n的偶排列，值为+1；若a1,a2,....,an是1,2,...,n的奇排列，值为-1；其它，值为0。

两个列维-奇维塔符号的积可以用一个以广义克罗内克函数表示的矩阵的行列式求得：

性质

由列维-奇维塔符号给出（共变等级为n）张量在正交基础中的组成部分，有时称为“排列张量”。

根据普通的张量变换规则，列维-奇维塔符号在纯旋转下不变，与正交变换相关的所有坐标系统（在定义上）相同。然而，列维-奇维塔符号是一种赝张量，因为在雅可比行列式−1的正交变换之下，例如，一个奇数维度的镜射，如果它是一个张量，它“应该”有一个负号。由于它根本没有改变，所以列维-奇维塔符号根据定义，是一个赝张量。

由于列维-奇维塔符号是赝张量，因此取叉积的结果是赝张量，而不是向量。

在一般坐标变换下，排列张量的分量乘以变换矩阵的雅可比。这表示在与定义张量的坐标系不同的坐标系中，其组成部分与列维-奇维塔符号表示的那些，不同之处在于一整体因子。如果坐标是正交的，则根据坐标的方向是否相同，因子将为±1。

在无索引的张量符号中，列维-奇维塔符号被霍奇对偶的概念所取代。

在使用张量的索引符号来操作分量的上下文中，列维-奇维塔符号可以将其索引写为下标或上标，而不改变意义，这也许是方便的如下写成：

在这些例子中，上标应该被视为与下标相同。

使用爱因斯坦标记法可消除求和符号，其中两个或多个项之间重复的索引表示该索引的求和。例如，

以下的例子使用爱因斯坦标记法。

二维

在二维上，当所有i，j，m，n各取值1和2时，

三维

索引和符号值

在三维中，当所有i，j，k，m，n各取值1,2和3时：