单位态射

可逆态射

单位态射(unit morphism)亦称可逆态射，是集合范畴中单位映射(可逆映射)概念的推广。

定义

设是范畴，，如有，使得

则称等价(或同构)。满足上述条件的叫做单位态射(或同构态射)。

简介

设f:A→B为范畴C中的态射，若有态射u使uf=εA(A上的恒等态射)，则称f为左可逆态射，称u为f的左逆态射。若有态射v使fv=εB，则称f为右可逆态射，称v为f的右逆态射。若f同时为左可逆态射与右可逆态射，就称f为单位态射。当f是单位态射时，上述的u=v。因此单位态射又称为等价态射。

相关概念

等价态射

等价态射(equivalent morphism)亦称同构态射，它是群论、环论、模论中同构概念的推广，因此也简称同构。在范畴中可用它们将其对象类分成等价类进行研究，因此起着重要的作用，设C为范畴，，若有使且 (ε表恒等态射)，则都称为等价态射且互称为逆态射，此时称对象为等价的。等价态射一定是单位态射，反之亦然。等价态射之逆是惟一的。

单态射

单态射是集合范畴中单射概念的推广，它与满态射是互为对偶的概念。范畴C中的态射，若有左可消性质，即对使态射合成有意义的态射，由可断定，则称为C中的单态射，若为单态射,则必为单态射；单态射的合成仍为单态射；单位态射必为单态射；甚至左可逆态射也是单态射。

满态射

满态射是集合范畴中满射概念的推广，它是单态射的对偶概念。范畴C中的态射，若有右可消性质，即由态射合成可断定，则称为C中的满态射，若为满态射，则为满态射；满态射的合成仍为满态射；单位态射必是满态射,甚至右可逆态射也是满态射。在群范畴中满态射即满同态；在环范畴中满同态为满态射，但反之不真。

双态射

双态射是集合范畴中双射概念的推广，在范畴中同时为单态射与满态射的态射称为双态射。换言之，双态射即满足左可消与右可消的态射，在群范畴与阿贝尔群范畴等范畴中，双态射就是满单同态(同构)。单位态射一定是双态射，但反之一般不真，在阿贝尔范畴中双态射即单位态射。

阿贝尔范畴

阿贝尔范畴(Abelian category)是一种特殊的加性范畴，因此具有更丰富的性质。一个加性范畴C称C为阿贝尔范畴，若再满足下述三条件：

1.任何态射f都有核kerf与上核coker f；

2.任何单(满)态射都是其上核(核)的核(上核)；

3.任何态射σ都可分解为一个单态射η与一个满态射π的合成σ=ηπ(称为σ的标准分解式)。

阿贝尔群范畴、环R上的R模范畴都是阿贝尔范畴，阿贝尔范畴具有加性范畴的一切性质，阿贝尔范畴的对偶范畴仍为阿贝尔范畴，阿贝尔范畴中既单且满的态射是单位态射，阿贝尔范畴在同调代数及代数几何中都是最常用的一类范畴。

态射的核

态射的核(kernel of a morphism)是群论中同态核概念的推广(不过在群论中同态核是一个正规子群，而在群范畴中则是指此正规子群及其在群中的嵌入同态)，态射的核是态射的上核之对偶概念。设范畴C有零对象(因而有零态射0)，f∈Hom(A，B)，所谓f的核ker f，是指C的一个对象K与一个态射η∈Hom(K，A)组成的对(K，η)，它满足：1.η为单态射；2.fη=0；3.对任何g∈Hom(D，A)，只要fg=0就必有τ∈Hom(D，K)使ητ=g (条件1可去掉，但在3中须强调“必有惟一的τ”)。

若f的核存在，则在等价意义下是惟一的，有时为强调态射也可不提K而称η为f的核，因此，单态射的核是零态射0，零态射的核是单位态射。

态射的上核

态射的上核(cokernel of a morphism)是群论中同态的上核概念的推广(不过，在群论中同态的上核是指一个商群，而在群范畴中是指此商群及群到此商群的满同态)，态射的上核是态射的核的对偶概念。设范畴C有零对象(因而有零态射0)，f∈Hom(A，B)，所谓f的上核coker f，是指C的一个对象W与一个态射π∈Hom(B，W)组成的对(W，π)，它满足：1.π是满态射；2.πf=0；3.对任何的g∈Hom(B，C)，只要gf=0就必有τ∈Hom(W，C)使τπ=g (条件1可去掉，但在条件3中须强调“必有惟一的τ”)。

在等价意义下，f的上核如存在必惟一.，有时为强调态射也可不提W而称π为f的上核，且记为coker f=π，因此，满态射的上核是零态射0，零态射的上核是单位态射。

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