单因素实验

只对一个因素进行实验，而将其他因素都固定

单因素实验是只对一个因素进行实验，而将其他因素都固定。采用这种方法必须首先假定各因素间没有交互作用。如果各因素间存在交互作用，利用这种方法往往会得出错误的结论。20世纪60年代初，华罗庚教授(1910～1985)在我国倡导与普及的“优选法”(国外称为“裴波那契法”)，就是单因素的最佳调试法。但在实际问题中，各因素相互独立的情况是极为少见的，所以在使用优选法时需要根据经验选择一个最主要的因素进行试验，而将其他因素都固定。因此优选法还不是一个很精确的近似方法。

基本介绍

实验中只有一个影响因素．或虽有多个影响因素，但在安排实验时只考虑一个对指标影响最大的因素，其它因素尽量保持不变的实验，即为单因素实验。在生产和科学实验中，人们为了达到优质、高产、低耗的目的，需要对有关因素的最佳点进行选择，有关这些最佳点选择的问题被称为优选问题。而利用数学原理，合理地安排实验点，减少实验次数，从而迅速找到最佳点的一类科学方法被称为优选法。单因素优选法的实验设计包括均分法、对分法、黄金分割法、分数法等。

均分法

均分法是在实验范围内，根据精度要求和实际情况，均匀地安排实验点，在每个实验点上进行实验并相互比较以求得最优点的方法。在对目标函数的性质没有全面掌握的情况下，均分法是最常用的方法，可以作为了解目标函数的前期工作，同时可以确定有效的实验范围。均分法的优点是得到的实验结果可靠、合理，适用于各种实验目的，缺点是实验次数较多，工作量较大，不经济。

对分法

对分法也被称为等分法、平分法，也是一种简单方便、广泛应用的方法。对分法总是在实验范围[a，b]的中点上安排实验，根据实验结果判断下一步的实验范围，并在新范围的中点进行实验。如结果显示取大了，则去掉大于的一半，第二次实验范围为，实验点在其中点上。重复以上过程，每次实验就可以把查找的目标范围减小一半，这样通过7次实验就可以将目标范围缩小到实验范围的1%之内，10次实验就可以将目标范围缩小到实验范围的1‰之内。对分法的优点是每次实验能去掉实验范围的50%，取点方便，实验次数大大减少。缺点是适用范围较窄，要根据上一次实验结果得到下一次实验范围。

黄金分割法

黄金分割法也称为0.618法，适用于实验指标或目标函数是单峰函数的情况，即在实验范围内只有一个最优点，且距最优点越远的实验结果越差。具体步骤是每次在实验范围内选取两个对称点做实验，这两个点（记为）分别位于实验范围[a，b]的0.382和0.618的位置。其中：

对应的实验结果记为。如果优于，则是好点，把实验范围划去，新的实验范围是，再重新进行黄金分割，选取两个对称点(记为 )，其中：

重复以上步骤，直到找到满意的、符合要求的实验结果和最佳点。同理，如果优于，则是好点，新的实验范围是；如果与效果一样，则去掉两端，新的实验范嗣是，之后继续进行实验。

用黄金分割法做实验时，第一步需要做两个实验，以后每步只需要再做一个实验，每步实验划去实验范围的0.382倍，保留0.618倍。

分数法

分数法又称为斐波纳契数列法，是利用斐波纳契数列进行单因素优化实验设计的一种方法。斐波纳契数列可由下列递推式确定

即如下数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…

当实验点只能取整数，或者限制实验次数的情况下，较难采用0. 618法进行优选，这时可采用分数法。任何小数都可以用分数表示，因此0.618也可近似地用来表示。例如只能做4实验，就以5/8代替0.618，第一次实验点在5/8处，第二个实验点选在其对称点3/8处。然后通过比较实验结果，选取新的实验范围进行实验，经过重复调试便可找到满意的结果。

分数法确定各实验点的位置，可用下列公式求得

第一个实验点=（大数一小数）× +小数，

新实验点=（大数-中数）+小数。

式中，中数为已实验点数值。

又由于新实验点( ，…)安排在余下范围内与已实验点相对称的点上，因此，不仅新实验点到余下范围的中点的距离等于已实验点到中点的距离，而且新实验点到左端点的距离也等于已实验点到右端点的距离（见图1）即：新实验点一左端点=右端点-已试点。

在使用分数法进行单因素优选时，应根据实验范围选择合适的分数，所选择的分数不同，实验次数和精度也不一样，如表1所示。

分批实验法

在生产和科学实验中，为了缩短整体实验周期，常常采用一批同时做几个实验的方法，即分批实验法。分批实验法可分为均分分批实验法和比例分割分批实验法。

均分分批实验法

均分分批实验法指每批实验均匀地安排在实验范围内，其示意图如图2所示。每批做2n个实验，将实验范围均匀地分为2n+1等份，在其2n个分点处做第一批实验。然后同时比较2n个实验结果，留下较好的点，及其左右相邻的两段，即[]作为新实验范围。第二批实验把这两段都各等分为n+1段，在得到的共2n个分点处做实验，直至得到满意的结果。该方法适用于测定某种有毒物质进入生化处理构筑物的最大允许浓度。

比例分割分批实验法

比例分割分批实验法指将实验点按一定比例安排在实验范围内，其示意图如图3、图4所示。每批做2n+1个实验，把实验范围划分为2n+2段，相邻两段长度为a和b（a>b）。在2n+1个分点上做第一批实验，比较结果，在好实验点左右分别留下一个a区和b区。然后把a区分成2n+2段，相邻两段为（），且。设短、长段的比例为，则

可推知

由上式可知，每批实验次数不同时，短、长段的比例是不同的。当n=2时，每批做5个实验，=0.264。当n=0时，每批做1个实验，=0.618。因此可认为比例分割法是黄金分割法的推广。

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