单纯复形

拓扑空间的工具

单纯复形（Simplicial Complex）是拓扑学中的概念，指由点、线段、三角形等单纯形“粘合”而得的拓扑对象。单纯复形不应当与范畴同伦论中的单纯集合混淆。

拓扑学中的定义

数学中，单纯复形是由三角形组成的一种几何图形。通过把一般的图形和这些较简单的图形按规定方式对应起来，可以简化一般图形的拓扑（定性的）研究。这些基本的三角形称为二维单纯复形，简称二维单形，更高维的单纯复形也可以用三角形的高维类似物（即通常所说的N维单形；三维单形是四面体）构成。

这些三角形必须用一定的方式，即或者不相交，或者相交部分是其公共面。用代数方法研究给定复形的定点、边界与三角形之间的关系，可以得到刻画这些三角形在复形中的拓扑排列的代数结构，从而也就刻画了这个复形所赖以构成的原来图形的拓补。

单纯同调论的定义

单纯复形亦称几何单纯复形。单纯同调论中的一个基本概念。用单形构造的并且按一定规则组成的图形。它是定义一类拓扑空间的工具。设K是n维欧氏空间R中单形的有限集合，称K为单纯复形，简称复形，若它满足：

1.若是K中的单形，则的任意面都属于K。

2.若s和s为K中任意两个单形，则s∩s或者是空集，或者是s与s的一个公共面.。

K中单形维数的最大值称为复形K的维数，记为dim K。这里定义的复形是由有限个单形构成的有限复形，根据需要还可推广定义无穷复形。若K是一个复形，则K的全体维数不大于r的单形组成一个复形，称为K的r维骨架，记为K.K即是K的顶点集合。若是一个q维单形，则它的全体面组成一个q维复形，称为单形的闭包复形，记为cl；而的全体真面组成一个q-1维复形，称为的边缘复形，记为Bd。

性质特点

设有R中q+1个点集A={a0，a1，…，aq}，若向量组{a1-a0，a2-a0，…，aq-a0}线性无关，称A为几何无关点组或A中点是几何独立的，设{a0，a1，…，ap}是R中p+1个几何独立的点，点集{xa1，…，ap为顶点的p维单形，记为(a0，a1，…，ap)，λ0，…，λp称为x关于顶点a0，…，ap的重心坐标，p维单形也简记为σ或σ，p为σ的维数，记为dimσ，关于坐标的点称为该单形的重心。至少有一个重心坐标为0的点称为该单形的边缘点，全体边缘点构成单形的边缘，记为σ。以{a0，a1，…，ap}的任一子集为顶点做成的单形称为原单形的面。零维面是顶点，一维面也称为棱，真子集做成的面也叫真面。零维单形是一个点，一维单形是一线段，二维单形是一三角形，三维单形是一四面体。

设K是R中单形的有限集合，满足：(1)若σ是K中单形，则σ的任何面都是K中单形。(2)若σ1与σ2是K中单形，则σ1∩σ2或为空集，或为σ1与σ2的公共面，则称K为单纯复形，简称复形。K中单形维数的最大值称为复形K的维数，即：

复形的零维单形称为顶点；若L⊂K，且L亦为复形，称L为K的子复形;K是p维复形，复形K′={σ|σ∈k，dimσ≤r}称为K的r维骨架。K在R中，作为Rn的子空间，记成|K|，称为K的伴随多面体，简称多面体，K称为|K|的(单纯)剖分或三角剖分。若L是K的子复形，则(K，L)与(|K|，|L|)分别称为单纯复形偶与多面体偶。

设X是拓扑空间，若存在复形K与同胚f： |K|→X，则复形K与同胚f所成偶(K，f)称为空间X的一个单纯剖分或三角剖分，简称K是X的单纯剖分，相应地X称为可剖分空间。维数不大于3的流形或任何微分流形是可剖分的。常见空间的剖分为：(1)对n维球面S同胚，n+1维单形σ的边缘做成的复形即为Sn的剖分。(2)对莫比乌斯带的剖分(如图1)：(3)环面T2=S×S的剖分(如图2)。(4)克莱因瓶(如图3)。(5)把正六边形边界上关于中心对称的点迭合起来可得射影平面P，其剖分(如图4)。若将上图六边形同胚地看成圆盘，就是通常见到的关于射影平面的剖分。

任何单形是欧氏空间的紧子集，则可剖分空间为可度量化的局部道路连通空间。若L是K的子复形，则|L|是|K|的闭子空间。若K不是两个非空不相交的子复形之并，称复形K是连通的。设L是K的最大连通子复形，称L是K的一个连通分支。对连通性，下述几条等价： (1)K连通。(2)K的一维骨架K1连通。(3) |K|连通。(4) |K|道路连通。任何复形K是有限个互不相交的连通分支K1，…，Kr的并，则|K|是连通(道路连通) 分支|K1|，…，|Kr|的并。

设σ=(a0，a1，…，ap) 是p维单形(p>0)，σ的顶点排列顺序ai0，…，aip与aj0，…，ajp若相差偶数个对换，则称为等价的，按这种等价将排列方式分为两类，每个等价类称为单形σ的一个定向。每一单形有两个定向，称为互相相反的定向，单形和它的一个定向一起称为有向单形，以顶点顺序a0，a1，…，ap决定的有向单形记为0，…，ap>，而它的相反定向的单形记为-σ或-σ，显然—0，a1，…，ap>由顶点顺序a1，a0，a2，a3，…，ap决定其定向，对零维单形a也认为有两个定向a与-a。设K是单纯复形，若K中任一单形都指定了一个定向，称复形K是定向的，它的全体有向单形称为K的有向单形基本组。

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