几何三大问题

数学术语

几何三大问题（Three major geometric problems）是指二千四百多年前，古希腊几何学家提出的尺规作图问题（ruler-and-compass construction），即只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。几何三大问题即为三等分角问题、化圆为方问题和倍立方问题。

简介

几何三大问题(Three major geometric problems)，亦称尺规作图问题，源于古希腊是几何学中的著名问题，主要包括尺规作图三大问题：

（1）三等分角问题：即把任意一个已知角三等分；

（2）立方倍积问题：即求作一个立方体，使它的体积等于已知立方体的体积的2倍；

（3）化圆为方问题：也称圆积问题，即求作一个正方形，使它的面积等于一个已知圆的面积。

这三个问题吸引了历代许多学者进行研究，长期未能解决，被称为几何三大问题。直至1837年，Wantzel用代数方法首先证明了（1）、（2）两个问题均属尺规作图不能问题。1882年，林德曼(Lindemann)证明了第三个问题也属于尺规作图不能问题.1895年，克莱因(Klein, (C. )F.)总结了前人的研究，著有《几何三大问题》一书，给出三大问题不可能用尺规来作图的简明证法，彻底解决了两千多年的悬案。如果不限制作图工具，几何三大问题根本就不是什么难题，而且早已解决。公元前5世纪，雅典的智人学派以上述三大问题为中心开展研究，正因为问题不能用尺规来解决，常常使人进人新的领域中去，促进了数学的发展.如激发了圆锥曲线、割圆曲线以及三、四次代数曲线的出现。

内容

三等分角问题

三等分角问题的完整叙述为：在只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分。在尺规作图（指用没有刻度的直尺和圆规作图）的前提下，此题无解。若将条件放宽，例如允许使用有刻度的直尺，或者可以配合其他曲线使用，可以将一给定角分为三等分。

立方倍积问题

立方倍积问题(problem of duplication of a cube)亦称倍立方体问题、德里安问题、Delos问题、德洛斯问题、第罗斯问题等，是几何三大问题之一。假设已知立方体的棱长为，所求立方体的棱长为，则，令，有。可以证明，若此方程有有理根，不外乎±1，±2，但它们都不是方程的根，因而不存在有理根，根据“有理系数的三次方程若无有理根，则长度等于它的任何实根的线段不能仅用尺规作图”的定理，立方倍积属尺规作图不能问题。

化圆为方问题

化圆为方问题（problem of quadrature of circle），也称圆积问题，由古希腊著名学者阿纳克萨戈勒斯提出的，但是阿纳克萨戈勒斯一生也未能解决自己提出的问题。该问题为求作一个正方形，使其面积等于已知圆的面积，其难度在于作图使用工具的限制。若不受标尺的限制，化圆为方问题并非难事，欧洲文艺复兴时代的大师，意大利数学家达芬奇（1452－1519）用已知圆为底，圆半径的为高的圆柱，在平面上滚动一周，所得的矩形，其面积恰为圆的面积，所得矩形的面积为，，然后再将矩形化为等积的正方形即可。

意义

虽然三大几何作图难题都被证明是不可能由尺规作图的方式做到的，但是为了解决这些问题，数学家们进行了前赴后继的探索，最后得到了不少新的成果，发现了许多新的方法。同时，它反映了数学作为一门科学，它是一片浩瀚深邃的海洋，仍有许多未知的谜底等待这我们去发现。

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