史瓦西度规

天文学家史瓦西求出的爱因斯坦方程的第一个严格解

史瓦西解，是指天文学家史瓦西（旧译席瓦希尔）求出的爱因斯坦方程的第一个严格解。这个解表明球外引力场只取决于引力源的总质量。亦称史瓦西外部解.

数学定义

其中是牛顿的万有引力常数，是天体质量。

形成过程

广义相对论的提出

场方程的提出

接下来讨论的史瓦西解也即第一个得出的场方程的严格解，这也是史瓦西黑洞的基础。

推导过程

爱因斯坦引力场确立以后，史瓦西首先求出了真空场方程：

的一个稳定的球对称解。它描述的是静止球对称引力源外部的引力场，因此正是牛顿引力定律的相对论对应。下面作简单的推导。

（以下一直采用的自然单位制）

（注意下面的不是 ,前者是希腊字母的第十三个，后者是英文字母 v）

采用球坐标，由球对称的度规场中已知的结论

可知，度规分量有形式

所有非对角分量为零，再可以解出

是由的定义解出的.所有的非对角分量也为零.这时候引力源是静止的，因此它的引力场也应当与无关.这里待求的和都只是的函数.下面来求解这两个函数.

先按照公式

算出克里斯多夫联络的非零分量为

其中的和分别是和对的微商，即导数.然后可以按定义得出以下的式子

这里的展开是按照曲率张量中的定义得到的.接着计算里奇张量（里契张量）.得到了以下的非零分量：

这样真空场方程具体化为

上面的三个方程是和联立的微分方程组，这三个方程只有两个是独立的，那是因为爱因斯坦张量必须满足毕安基恒等式

的后果.

用减去得出：

立解的下式：

将式代入式消去，得

即 .它的解可以写成

再利用式，可得

注意到，令相当于改变时间尺度，于是最后解得：

其中又有关于弱场的牛顿近似

对比上三式，可以看出 .相应把不变距离公式写成

此即球对称外引力场的史瓦西解.

值得一提的是，1914年，第一次世界大战爆发，史瓦西虽然已经年过40，仍然参加了德军，而且达到炮兵上尉的军衔。正是在俄国战场前线，史瓦西得到了引力场方程的第一个精确解，并在1915年12月22日将结果寄给了爱因斯坦。爱因斯坦对史瓦西的结果极为赞赏，特别是之前爱因斯坦本人只得到了引力场方程的近似解，并以此对水星的近日点进动进行了解释。

重要性及其意义

有两条理由使得史瓦西时空几何极为重要。

1、它是对太阳系中引力场的一个很好的描述。太阳本身近乎球形，其周围物质的质量很小，以至于可以被看作真空，太阳系中所有光线和行星、彗星等物体的运动轨道因而就是史瓦西弯曲时空的测地线。这些运动轨道能被计算出来，并与经过太阳附近的光线和行星近日点进动的观测值精确相符，而这些现象是牛顿引力理论所不能解释的。

2、史瓦西几何又具有普适性，因为它与恒星的类型无关，而只依赖于一个参量，即质量。太阳和相同质量中子星周围的引力场是同样的，一个相同的“点”质量也是如此。

史瓦西解描述了一个静止的、不带电的、球对称的天体外部的引力场，或者说是其外部时空的弯曲情况，通常称之为史瓦西外部解或史瓦西度规。

史瓦西解得出的引力场与牛顿引力场有一个很重要的共同点.球外的引力场只取决于引力源的总质量，而与引力源的大小和物质密度随r的分布无关.因此若只观测这种引力场，我们只能推知源的总质量，而不能获得关于源的其他信息。

史瓦西半径

随着向点状引力源的趋近，时空几何出现奇异行为。更惊奇的是，奇异性在临界距离处开始出现，这里M是中心星的质量，G是牛顿的万有引力常数，c是光速（以下将这个公式简化为r=2M），这个临界距离与引力质量成正比，对太阳质量是3公里，对100万倍太阳质量是300万公里，对地球则是1厘米（9mm）。这个距离就叫做史瓦西半径，它不是别的，正是按照牛顿方式计算的表面逃逸速度达到光速的星体尺度。

按照史瓦西解，在临界半径r=2M以内，空间和时间都丧失了自己的特征。在这个半径以内用以测量距离和时间的规则都失效了，时间变成0，而距离趋于无限。

根据史瓦西半径，如果一个重力天体的半径小于史瓦西半径，天体将会发生坍塌。在这个半径以下的天体，其间的时空弯曲得如此厉害，以至于其发射的所有射线，无论是来自什么方向的，都将被吸引入这个天体的中心。因为相对论指出任何物质都不可能超越光速，在史瓦西半径以下的天体的任何物质——包括重力天体的组成物质——都将塌陷于中心部分。一个有理论上无限密度组成的点组成重力奇点（gravitational singularity）。由于在史瓦西半径内连光线都不能逃出黑洞，所以一个典型的黑洞确实是“黑”的。

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