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合成列

一种特殊类型的子群列

合成列(composition series)一种特殊类型的子群列。

定义介绍
在抽象代数中。合成列是借着将代数对象（如群、模等等）拆解为简单的成分，以萃取不变量的方式之一。以模为例，一般环上的模未必能表成单模的直和。但是我们可退而求其次，考虑一组过滤 ，使每个子商 皆为单模；这些单模称为合成因子，n 称为合成长度，都是M的不变量。亦可考虑M的子模范畴 ，此时 可唯一表为合成因子之和；在此意义下，K-群提供了模的半单化。
合成列未必存在，即使存在也未必唯一。然而若尔当-赫尔德定理断言：若一对象有合成列，则子商的同构类是唯一确定的，至多差一个置换。因此，合成列给出有限群或阿廷模的不变量。
群的情形
设G为群，G 的合成列是对应于一族子群
满足 ，使其子商 皆为非平凡的单群；易言之， 是 的极大正规子群。这些子商也称作合成因子。对于有限群，恒存在合成列。
模的情形
固定环R及R-模M。M的合成列是一族子模
其中每个子商 皆为非平凡的单模。易言之， 是 的极大子模。这些子商也称为合成因子。若R 是阿廷环，根据Hopkins-Levitzki 定理，任何有限生成的R-模皆有合成列。
例子
例子 考虑 12 阶循环群 ，它具有三个相异的合成列
合成因子分别为
其间仅差个置换。
相关定理
若尔当-赫尔德定理
定理. 若群〔或R-模 M〕有合成列，则任两个合成列都有相同长度。合成因子的同构类与合成列的选取无关，其间至多差一个置换。
略证：以下仅处理模的情形，群的情形可依此类推。假设存在两个合成列
对 行数学归纳法。若 则 M=0，若 则 M 是单模。以下假定 。
若 ，据归纳法假设， 且 与（）之间仅差置换。此外 ，故定理成立。
设。此时必有。置 ，于是
取N的合成列，依上式知
皆为合成列，其合成因子仅差个换位。根据归纳法假设，若同删去尾项M，则 (*) 与 (**) 的合成因子分别等同于合成列的合成因子，至多差个置换。是故定理得证。
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