阿廷模

阿廷模的对偶概念

模是一个重要的代数系统。它是一个带算子区A的交换(加)群M。阿廷模是与诺特模对偶的概念，即满足极小条件的模。阿廷模是由奥地利代数学家阿廷发现的。德国女数学家诺特也对模的发展做出了巨大贡献。

定义

阿廷模是与诺特模对偶的概念，即满足极小条件的模。若A模M的任一子模降链M1M2…都是有限终止的，即存在n，使得Mn=Mn+1=…，则称模M满足降链条件。模M是阿廷模的充分必要条件是它满足降链条件。若将环A看做左A模时它是阿廷模，则称环A是左阿廷环(关于右的情形完全类似)。有单位元的阿廷环一定是诺特环。

性质

若 A 是 k-代数，任何在 k 上有限维的 A-模都是阿廷模。若，且 N 与 M / N 皆为阿廷模，则 M 为阿廷模。阿廷模的子模与商模皆为阿廷模。阿廷模与环的性质差异之一，在于有非诺特模的阿廷模，以下将给出一个例子：令，视之为 -模。升链不会固定，因此 M 并非诺特模。然而我们知道 M 的任何子模皆形如，由此可知任何降链皆可写成其中 ni + 1 | ni，故将固定，于是 M 是阿廷模。

诺特模

一种重要的模。它是阿廷模的对偶概念。即满足极大条件的模。若A模M的任一子模升链M1M2…都是有限终止的，即存在n，使得Mn=Mn+1=…，则称模M满足升链条件。模M是诺特模的充分必要条件是它满足升链条件；也等价于，M的每个子模是有限生成的。若将环A看做左A模时它是诺特模，则称A是左诺特环(关于右的情形完全类似)。诺特环是一类概括广的重要环，它在代数几何等学科中有很大的应用价值。域上的多元多项式及其商环(因而代数曲线、代数曲面的坐标环)都是诺特环。

模

一个重要的代数系统。它是一个带算子区A的交换(加)群M。给定集合A与交换群M，若定义了a∈A与x∈M的乘积ax∈M，并且这个积满足条件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

则称A为M的算子区，称M为带算子区A的模，又称为A上的模或A模。这时，由对应(a，x)→ax确定的映射A×M→M，称为A作用到M上的运算。任意a∈A可诱导出M的自同态aM：x→ax，而考虑交换群M能否成为A模就是看能否给出映射：

μ： A→End(M)，　a→aM.

特别地，考虑A是结合环，若满足上述条件1的A模还满足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)为环同态，则称M为左A模或左环模。由于A到M上的运算是写在左侧，所以M就称为左A模，记为AM。类似地，有右A模M，记为MA.若A有单位元1，且又满足条件：

4.1x=x (x∈M);

则称M为酉模或幺模。

人物简介——阿廷

代数学家。生于奥地利维也纳。1916年在维也纳大学学习了一个学期后加入步兵团；1919年进莱比锡大学继续学习，1921年获博士学位;随即去格廷根大学一年;后到汉堡大学，1923年为不支薪讲师，1925年升副教授，1926年升教授。1937年移居美国，先后在圣母大学和印第安那大学执教。1946—1958年执教普林斯顿大学。1958年回到汉堡大学。1962年因心力衰竭逝世。

阿廷被公认为现代抽象代数学的先驱。1923年，他在研究非阿贝尔L级数时提出广义互易律猜想，并于1927年证明之，从而解决了希尔伯特第9问题。他还利用这个互易律把著名的希尔伯特主猜想归结为纯粹群论问题，后来被P·H·富特文格勒证明(1930)。1926年，他引进实域的概念，从而肯定地解决了希尔伯特第17问题：n个变量的正定有理式能否表示成有理式的平方和?1944年，他提出“阿廷环”的概念，这是现代代数学的基本概念之一。阿廷提出过许多著名猜想，给代数学研究以巨大的推动。例如他在20年代提出了函数域上的黎曼猜想(韦伊于1941年给予证明)，非阿贝尔L级数是亚纯的(布饶尔于1947年证明)并且也有黎曼猜想的性质(至今尚未证明);30年代他猜测有限域是拟代数闭域(几乎立即被谢瓦莱证明)等等。他还猜测如果一个单群的阶g能够被p>g整除，则这个群必属于已知类型(被布饶尔等于1958年证明)。他对三维空间的纽结理论研究也有贡献。

阿廷热爱讲授各级课程，范·德·瓦尔登的名著《代数学》就是根据他和E·诺特的讲课记录整理而成的。他的著作包括《伽罗瓦理论》(Galois Theo-ry， 1942)，《代数数与代数函数》(Algebraic Numbers andAlgebraic Functions， 1950)和《几何代数》(Geometric Alge-bra， 1957)等。1965年，斯普林格出版社出版了阿廷的文集，其中包括了他的全部49篇论文。

人物简介——诺特

德国女数学家。犹太人。生于德国埃尔朗根，1897年入埃尔朗根女子学院，1900年入埃尔朗根大学，1904年正式注册成为大学生，1907年在A·戈顿指导下获博士学位。1910年以后，她先后在艾哈德·史密特和恩斯特·费歇尔的指导下进行研究，1915年应邀赴格廷根大学工作，因为是女性，她一直没有得到正式教职。后来，在D·希尔伯特和F·克莱因的支持下，1919年6月才成为格廷根大学的讲师，1922年4月成为编外副教授。1928—1929年应邀赴莫斯科大学讲学，并出席第八届国际数学家代表大会。1933年4月，作为犹太人被纳粹政府赶出大学校园，同年10月被迫移居美国，任布林·莫尔女子学院教授，1934年同时在普林斯顿高级研究所工作，1935年因外科手术事故去世。终身未婚。

诺特是20世纪最富有独创性的女数学家，她的数学思想直接影响了30年代以后代数学乃至代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展。她在戴德金等人的零星结果的基础上建立了抽象代数学体系，成为抽象代数学的奠基人之一。

诺特的早期(1907-1919)工作主要研究代数不变式及微分不变式，在博士论文《n元形的不变式理论》中给出三元四次型的不变式的完全组。还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题。对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，并在格廷根大学的就职论文中，讨论了李群下不变式问题，给出诺特定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起，至今仍然是物理学中的基本定理之一。1920-1927年间，她主要研究交换代数。1916年后，开始接触戴德金等人的工作，并于1920年引入“左模”、“右模”的概念，1921年在《数学纪事》上发表了交换代数(抽象环论)的奠基性的文献《整环的理想理论》，文中建立了交换诺特环理论，并证明了准素分解定理。1926年，在论文《代数数域及代数函数域的理论的抽象构造》中给出了戴德金环一个公理刻画，还得到了素理想因子唯一分解定理的充要条件。这两篇论文奠定了交换环论及其应用的基础。1927-1935年，她更多地转向了非交换领域、表示论和超复数系的一般算子理论，在论文《超复数与表示论》(1929)和《非交换代数》(1933)和另三篇关于范数剩余与主定理的论文中，她把表示论、理想理论及模理论统一在“超复数”这一代数的基础上，并联系弗罗贝尼乌斯的表示论形成系统的代数理论。而后又把抽象理论用到数论等方面，证明了代数主定理，即：代数数域上的中心可除代数是循环代数。

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