诺特模

满足升链条件的模

诺特模是抽象代数中一类满足升链条件的模，定义方式类似诺特环。是一种重要的模。它是阿廷模的对偶概念。即满足极大条件的模。若A模M的任一子模升链M1M2…都是有限终止的，即存在n，使得Mn=Mn+1=…，则称模M满足升链条件。模M是诺特模的充分必要条件是它满足升链条件；也等价于，M的每个子模是有限生成的。若将环A看做左A模时它是诺特模，则称A是左诺特环(关于右的情形完全类似)。诺特环是一类概括广的重要环，它在代数几何等学科中有很大的应用价值。域上的多元多项式及其商环(因而代数曲线、代数曲面的坐标环)都是诺特环。

定义

诺特模是一种重要的模。它是阿廷模的对偶概念。即满足极大条件的模。若A模M的任一子模升链M1M2…都是有限终止的，即存在n，使得Mn=Mn+1=…，则称模M满足升链条件。模M是诺特模的充分必要条件是它满足升链条件；也等价于，M的每个子模是有限生成的。若将环A看做左A模时它是诺特模，则称A是左诺特环(关于右的情形完全类似)。诺特环是一类概括广的重要环，它在代数几何等学科中有很大的应用价值。域上的多元多项式及其商环(因而代数曲线、代数曲面的坐标环)都是诺特环。

阿廷模

与诺特模对偶的概念，即满足极小条件的模。若A模M的任一子模降链M1M2…都是有限终止的，即存在n，使得Mn=Mn+1=…，则称模M满足降链条件。模M是阿廷模的充分必要条件是它满足降链条件。若将环A看做左A模时它是阿廷模，则称环A是左阿廷环(关于右的情形完全类似)。有单位元的阿廷环一定是诺特环。

诺特环

设R是一个有单位元的交换环，如果R的每个理想链I1⫅I2⫅I3⫅…都存在整数n，使得对任何i≥n，Ii=In，则称R是一个诺特环。设R是一个交换环，R的理想Q称为准素理想，如果Q≠R，对任意的a，b∈R，若ab∈Q，a∉Q，则必存在正整数n，使得b∈Q。设I是交换环R的理想，I的根(或称幂零根)是包含I的所有素理想之交，记作或radI。准素理想的根是一个素理想，这个素理想称为与Q结合的素理想，或Q是属于这个素理想的准素理想。交换环R中的理想I称为有准素分解，如果I=Qi∩…∩Qn，其中Qi，i=1，…，n都是准素理想。如果每个Qi都不包含Q1∩…∩Qi-1∩Qi+1∩…∩Qn，而且Qi的根互不相同，则称这样的准素分解是既约的。一个有单位元的交换环R是诺特环当且仅当R的每个理想是有限生成的，当且仅当R满足理想的极大条件：对R的任一个理想的非空族{Iλ}，其中必存在极大元I，即若J∈ {Iλ}，I⫅J，则I=J。含幺交换环是诺特环当且仅当每个素理想是有限生成的。诺特环R的每个理想I，I≠R，有准素分解，而且若I=A1∩…∩An，I=B1∩…∩Bm是两个既约准素分解，其中Ai是属于Pi的准素理想，Bj是属于Qj的准素理想，则n=m，而且适当重排顺序后，Pi=Qi。环R的非空子集S称为R的一个乘闭子集，如果对任何a，b∈S，ab∈S。设S是交换环R的一个乘闭子集，在集合R×S上定义一个关系～： (r，s) ～ (r′，s′)，如果存在S1∈S使得s1p。设S是诺特环R的乘闭子集，则SR也是诺特环。设R是—个诺特环，R[x1，…，xn]是R上文字x1，…，xn的多项式全体做成的环，则R[x1，…，xn]也是诺特环，这个结论称为希尔伯特基定理。设R是一个诺特环，R[[x]]是R上文字x的形式幂级数全体做成的环，则R[[x]]也是诺特环。

性质

证明：=>否则不妨设，那么为无穷升链，与M是诺特的相矛盾。

<=如果存在无穷升链，考虑即可导致矛盾。

2. 模M是诺特的，当且仅当对于M的任意自模N，N和M/N均为诺特模。

证明：=>若M是诺特的，显然N也是诺特的。对于M/N的任意自模，唯一对应了一个包含N的M自模，因此易知其也为诺特的。

<=对于M的任意上升链，我们考察如下两个升链

显然存在r使得当n>r时有且，对于第二项我们用群同构定理可知，又由第一项我们有。

推论1：如果是诺特的，那么也是诺特的。

推论2：如果R是诺特环，那么其上的有限生成模是诺特的。

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