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诺特环

数学领域术语

在数学中，更具体地在抽象代数领域被称为环论。诺特环(Noetherian ring)是抽象代数中一类满足升链条件的环。希尔伯特(Hilbert)首先在研究不变量理论时证明了多项式环的每个理想都是有限生成的，随后德国数学家埃米·诺特(Emmy Noether)从中提炼出升链条件，诺特环由此命名。

定义
诺特环是一个满足理想的升链条件的环；也就是说，给予任何理想的链：
存在n，使得：
将上述定义中的理想代换为左理想或右理想，可以类似地定义左诺特环与右诺特环。
性质
诺特环的不可约理想为准素理想。
诺特环的理想为准素理想的有限交。
若交换幺环R的所有理想都为有限生成的，则R为诺特环。
任何交替的主理想环都是诺特环，因为这样一个环的每个理想都是由一个元产生的。特别是，每个主理想整环和每个欧几里得整环都是诺特环。
戴德金域是诺特环，因为每个理想都由最多两个元生成。 “Noetherian”来自于Krull-Akizuki定理。发电机数量的范围是福斯特 - 天鹅定理（或基本环论）的推论。
希尔伯特基定理：如果R是诺特环，则单元多项式环R[X]是诺特环。通过归纳法，n元多项式环R[X1，...，Xn]是一个诺特环。此外，单元形式幂级数环R[[X]]是诺特环。
如果R是诺特环，而I是双边理想，那么商环R/I也是诺特环。换句话说，一个诺特环的任何一个弹性环同态的像是诺特环。
在交换性的诺特环上的每个有限生成的交换代数是诺特环。 （从以前的两个属性开始）
A是左（右）诺特环当且仅当A在自己的左乘法下形成一个左（右）诺特模。
交换诺特环的每个局部化都是诺特环。
Akizuki-Hopkins-Levitzki定理的结果是每个左阿廷环都是诺特环。另一个后果是，左阿廷环是左诺特环，如果且只有左阿廷环。具有“右”和“左”的类似语句互换也是如此。
一个左诺特环是相干的，左诺特域是一个左侧的矿石域。
当且仅当内射（左/右）模的每个直和是内射的，则是（左/右）诺特环。每个内射模可以分解为不可分的内射模的直和。
在一个交换诺特环中，只有极少数的理想。
在诺特整环R中，每个元都可以被分解为不可约元素。因此，如果另外不可约元是素元，则R是唯一因子分解域。
特征
对于非交换环R，有必要区分三个非常相似的概念：
1.如果R满足左理想的升链条件，则R为左诺特环。
2.如果R满足右理想的升链条件，则R是右诺特环。
3.如果R同时是左和右诺特环，则R是诺特环。
对于交换环，这三个概念重合，但一般来说它们是不同的。存在是左诺特环而不是右诺特环的环，反之亦然。
还有另外一个等同的定义，我们给左Noetherian环R一个定义：
1.在R中的每个左边的理想I有限生成，即在I中存在元素a1，...，an，使得I = Ra1 + ... + Ran。
2.每个非空集合的左边理想，通过包含部分排序，具有关于集合包含的最大元素。
类似的结果适用于右诺特环。
交换环R是诺特环，则R的每个理想都是有限生成的。
背景
在数学中，更具体地在抽象代数领域被称为环论。诺特环(Noetherian ring)是抽象代数中一类满足升链条件的环。希尔伯特首先在研究不变量理论时证明了多项式环的每个理想都是有限生成的，随后德国数学家埃米·诺特(Emmy Noether)从中提炼出升链条件，诺特环由此命名。
艾美奖环以艾美·诺特（Emmy Noether）命名。由于它在简化环的理想结构中起着重要的作用，在交换和非交换环理论中，Noetherian环的概念是至关重要的。 例如，整数环和场上的多项式环都是Noetherian环，因此，诸如Lasker-Noether定理，Krull交集定理和希尔伯特基础定理这样的定理成立。 此外，如果一个环是Noetherian，那么它满足主要理想的下降链条件。 这个属性暗示了从Krull维度的概念开始的Noetherian环的深度的维度理论。
举例
1.整数环Z是一个诺特环，这个事实在通常的证据中被利用，每个非单位整数都可以被至少一个素数整除，尽管它通常被称为“每个非空的整数集合具有关于可分割性的最小元素”。
2.有限维代数g的包络代数U是左和右诺特环，这是因为U的相关分次环是Sym(g)的商，是一个域上的多项式环；因此，是一个诺特环。
3.整数或一个字段中有限多个变量的多项式环。
非诺特环往往（在某种意义上）非常大。以下是非诺特环的一些例子：
1.无限多个变量X1，X2，X3等中的多项式环，理想（X1），（X1，X2），（X1，X2，X3）等的序列是上升的，不会终止。
2.代数整数的环不是诺特环。例如，它包含无限上升的主要理想链：（2），（21/2），（21/4），（21/8），...
3.从实数到实数的连续函数的环不是诺特环：令In是所有连续函数f的理想，使得对于所有x≥n，f（x）= 0。理想I0，I1，I2等的序列是不终止的上升链。
4.稳定同伦群的球体不是诺特环。然而，非诺特环可以是诺特环的子环。由于任何一个整环都是一个子域，任何不是诺特环的整环都是一个例子。给一个不那么琐碎的例子，
5.在域k上由x和y / xn生成的有理函数环是只有两个变量的域k(x,y)的子环。
事实上，有一些环是左诺特，但没有右诺特，所以一个人必须小心测量一个环的“大小”这样。例如，如果L是与Z同构的的亚组，则R是从到自身满足f（L）⊂L的同态的环。选择一个基，我们可以描述相同的环R：
这个环是左诺特，但不会右诺特；由a = 0和γ= 0的元素组成的子集I⊂R是没有有限生成的左R模的左理想。
如果R是左诺特环S的交换子环，S作为左R模有限生成，则R是诺特环。（在S是可交换的特殊情况下，这被称为Eakin定理）然而，如果R不可交换，则不是这样：前一段的R环是左诺特环S = Hom（， ），S作为左R模有限生成，但R不是诺特环。
唯一因子分解整环不一定是一个诺特环。 它确实满足一个较弱的条件：主理想的升链条件。
估值环不是诺特环，除非它是主理想整环。 它给出了代数几何自然产生的环，但不是诺特环的例子。
ℂ为诺特环，故多项式环ℂ[x1,...,xn]为诺特环。
主分解
在整数的环Z中，对于某个整数n，任意的理想是（n）的形式（其中（n）表示n的整数倍数的集合）。如果n是非零，并且既不是1也不是-1，通过算术基本定理，存在素数和正整数，与。在这种情况下，理想（n）可以写成理想的交点；也就是说，。这被称为理想（n）的主要分解。
一般来说，如果Q是左的，并且每当xy∈Q，则某个正整数n的x∈Q或yn∈Q，则认为环的理想Q是主要的。在Z中，主理想恰恰是形式（）的理想，其中p是素数，e是正整数。因此，（n）的主分解对应于表示（n）作为有限许多主理想的交点。
由于算术的基本定理应用于非零整数n，既不是1也不是-1，也表示了，对于和为正，n（n）的主要分解基本上是唯一的。
由于上述所有原因，以下定理被称为拉斯克 - 诺特定理，可以被看作是算术基本定理的某种泛化：
Lasker-Noether定理。让R成为一个可交换的Noetherian环，让我成为R的理想。然后我可以写成有限的许多主要理想与不同的自由基的交集；那是：
对于i≠j，所有i的Qi为主，Rad（Qi）≠Rad（Qj）。 此外，如果：
是对于i≠j，Rad（Pi）≠Rad（Pj）的I的分解，并且I的两个分解都是非冗余的（意味着{Q1，...，Qt}或{P1，...的适当子集 ，Pk}产生一个相等于I），t = k和（在可能重新编号Qi之后）的交点Rad（Qi）= Rad（Pi）。
对于I的任何主要分解，即集合{Rad（Q1），...，Rad（Qt）}由Lasker-Noether定理保持不变。
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