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局部化

局部化

局部化，是分式环的另一名称，局部化有两个重要性质，即保持正合性和诺特性质，通过哥尔迪(Goldie,A. W.)等人的工作，局部化方法已应用于非交换环论研究中.例如,哥尔迪证明了左诺特素环的(右)全分式环是单阿廷环.局部化方法有直观的几何背景.在代数几何中研究一个代数簇在某点或某点附近的局部性质,而从各点的局部特性去把握代数簇的整体特性.这种方法在代数数论和整个代数学中是有效的方法.

定义
交换环R的一个子集S若构成幺半群，即满足：(1)R的单位元e∈S，(2)S关于乘法是封闭的。则称S为乘性子集。在集合R×S={(r,s)|r∈R,s∈S}中定义等价关系：(a,s)~(b,t)↔存在μ∈S,使(at-bs)μ=0。将(a,s)的等价类记为 。在等价类所成集合中规定加法和乘法运算：
则该集合成环，称为R关于S的局部化。记作 或，又称为分式环。
例子
一般R不能嵌入 中，但当S是R的所有非零因子集合时，R可以嵌入 中，这时 简称为R的分式环。
若R还是整环 就是R的商域。
又如R为整数环Z，p为素数 是所有表成既约分式时分母与p互素的有理数全体所成的环。
简介
局部化，是分式环的另一名称，分式环(fractional ring)全称为“具有单位元的交换环R关于乘性子集S的分式环”。分式环的造法以及与它相关联的局部化方法大概是交换代数中最重要的技术性工具．它们相当于在代数几何图形里把注意力集中到一个开子集上或一点的近傍；这些概念的重要性是显然的。
相关定理与性质
定理1 交换环R可嵌人到它的分式环A中，R中非零因子在A中有逆元。若R有非零因子，则A是含单位元的环。
性质：
写作Ap．形如a/s的元素，这里a∈p，组成A中一个理想m．如果b/t∉ m，那么b∉p，因此b∈S，于是b/t是Ap中可逆元．由此推出，如a是Ap中的理想而a⊈m，那么a就含一个可逆元，因而是整个环．因此，m是环An中仅有的极大理想；换句话说，Ap是局部环．从A转化到Ap的过程叫做在p的局部化．
(2) 是零环↔0∈S。
(3)设f∈A而S={fn)n>0．这时将写作Af．
(4)设a是A中任一理想，并且令S=1+a是一切1+x，x∈a，所成的集．显然S是乘法封闭的。
(5)若非零环R无零因子，且0不属于S，则为整环。
(6)若非零环R无零因子，且S为R中所有非零元的集合，则为域。
诺特环的局部化为诺特环。
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