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复点

平面上或空间中以复数为坐标的点

复点(complex point)是射影几何的基本概念之一，指平面上或空间中以复数为坐标的点。复点最初是由于在实空间里用代数方法研究实曲线的交点等几何问题时，为求理论上的完整性并便于作统一处理而出现的。在解析几何中讨论二阶曲线(或二阶曲面)与直线相交的情况时，需解实系数的一元二次方程，这时随着二次方程有两个实根、一个重根或两个虚根，可以确定有两个交点、一个重合交点(相切情形)或没有交点(不相交情形)，在研讨二阶曲线(曲面)以至代数曲线(曲面)时，如果在普通的实平面上(空间中)的点外增添复点，那么这种由于代数方程根的实、虚所反映交点的存在与否的区别就可消失，以至于可以利用每个n次方程总有n个复数根(包括重根)这个代数基本定理来肯定每条直线与任何n次代数曲线(曲面)总有n个交点，这有助于在解析几何以及代数几何中对代数曲线(曲面)的理论探讨。平面上的复点是这样定义的：在平面上，若点的坐标x，y皆为实数，则称(x，y)表示实点；若x，y中至少有一个是虚数，则称(x，y)表示虚点，实点和虚点合称为复点。为了表示平面上(空间中)包括无穷远点在内的全部复点，可对复点引进齐次坐标，这可与实点情形同样处理。随着数学的进展和实际的需要而发展起来的复几何、复空间、复流形等，其基本元素也是复点(复数坐标的点)。

基本概念
复点，复直线 以复数为坐标的点或直线称为复点或复直线。
复元素 复点和复直线统称复元素。
共轭复元素 若为一元素的齐次坐标时，为另一同类元素的齐次坐标，则此二元素叫做共轭复元素。
两个非无穷远共轭复元素，其非齐次坐标必为共轭复数。
两个共轭复元素的齐次坐标不一定为共轭复数，原因是齐次坐标可以相差一个常数因子。
复点和复直线的结合关系为
相关定理
定理1 一元素为实元素的充要条件是该元素与其共轭复元素重合。
定理2 如果一点x在一直线u上，则共轭复点必在共轭直线上。
定理3 两共轭复直线的交点为一实点，两共轭复点的连线为一实直线。
推论 在一复直线上有唯一一个实点，过一复点有唯一一条实直线。
注:一实直线上的点或为实点或为一共轭复点；过一实点的直线或为一实直线或为一-共轭复直线。
例题选解
例1 证明：(2，i，1-i)与(2+2i，1-i，2i)表示一对共轭复点，并求其连线方程。
证明： 点(2，i，1-i)之非齐次坐标为，
点(2+2i，1-i，2i)之非齐次坐标为。
显然其坐标为共轭复数，所以此二点为共轭复点，其连线方程为：
即
例2 (1)求过(1,i,0)之实直线；
(2)求直线[2，i，3-4i)上之实点。
解： (1)通过点(1，i，0)之实直线必过其共轭复点(1，-i，0)，故所求为。
(2)直线[2，i，3-4i]上之实点为它与共轭复直线[2，-i，3+4i]之交点，故所求为点(-3，8，2)。
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