多胞形

特殊的凸多面体

多胞形是一类由平的边界构成的几何对象。多胞形可以存在于任意维中。多边形为二维多胞形，多面体为三维多胞形，也可以延伸到三维以上的空间，如多胞体（英语：polyhedron）即为四维多胞形。

概念

多胞形是一类特殊的凸多面体。一个多胞形就是一个内部非空的紧凸多面体。当dim X=2时，一般不称多胞形，而称之为多边形。例如，平行六面体。若(xi)i=0，1，…，d是一个单形，则平行六面体：

是一个多胞形；又如，实心单形：

也是一个多胞形。

凸多面体

凸多面体亦称欧拉多面体。一种简单多面体。即整个多面体都在其任何一个面所在平面同侧的多面体。凸多面体的任何一个面延展都不会通过它的内部。凸多面体内部或界面上任何两点所连的线段都在凸多面体内或界面上.一个多面体是凸多面体的充分必要条件是它的每个多面角是凸多面角。凸多面体是简单多面体，不是凸多面体的简单多面体称凹多面体。

凸多面体的主要性质有：

1.凸多面体的面必为凸多边形。

2.凸多面体的多面角必为凸多面角。

3.直线与凸多面体的面的交点，最多只有两个(直线段在多面体的面内的情形除外)。

多面体

由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的多边形叫做多面体的面。两个面的公共边叫做多面体的棱。若干条棱的公共顶点叫做多面体的顶点。把多面体的任何一个面伸展，如果其他各面都在这个平面的同侧，就称这个多面体为凸多面体。多面体至少有4个面。多面体依面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等。把一个多面体的面数记作F，顶点数记作V，棱数记作E，则F、E、V满足如下关系：F+V=E+2

这就是关于多面体面数、顶点数和棱数的欧拉定理，每个面都是全等的正多边形的多面体叫做正多面体。每面都是正三角形的正多面体有正四面体、正八面体和正二十面体。每面都是正方形的多面体只有正六面体即正方体，每面都是正五边形的只有正十二面体。由欧拉定理可知一共只有这5种正多面体。

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫棱柱的底面，其余各面叫棱柱的侧面，两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。不在同一个面上的两个顶点的连线叫棱柱的对角线。两个底面间的距离叫做棱柱的高。侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……。容易看出棱柱的侧棱的长都相等，侧面都是平行四边形。两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。直棱柱的侧棱长与高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体。底面是矩形的直平行六面体叫做长方体。棱长都相等的长方体叫做正方体。易见长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上3条棱长的平方和，称垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面为棱柱的直截面。斜棱柱的侧面积等于它的直截面的周长与侧棱长的乘积。直棱柱的底面是直截面，因此直棱柱的侧面积等于它的底面的周长与一条侧棱长的乘积。棱柱的体积等于它的底面积与高的乘积。

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