多项式环

在抽象代数中，多项式环推广了初等数学中的多项式。一个环 R 上的多项式环是由系数在R 中的多项式构成的环，其中的代数运算由多项式的乘法与加法定义。在范畴论的语言中，当R 为交换环时，多项式环可以被刻划为交换R-代数范畴中的自由对象。

在初等数学与微积分中，多项式视同多项式函数，两者在一般的域或环上则有区别。举例言之，考虑有限域上的多项式

此多项式代任何值皆零，故给出零函数，但其形式表法非零。

我们宁愿将多项式看作形式的符号组合，以得到较便利的代数理论。且考虑多项式在域扩张之下的性质：就函数观点，多项式函数在域扩张下的行为颇复杂，上述给出上的零函数，但视为上的多项式函数则非零；而就形式观点，只须将系数嵌入扩张域即可。

于是我们采取下述定义：令R为环。一个单变元X的多项式P(X)定义为下述形式化的表法：

其中∈R，称作P(X)的系数，而X视作一个形式符号。两多项式相等当且仅当每个均相同。次数最大的非零系数称为该多项式的首项系数。

更严谨的说法或许是将多项式定义为系数的序列，使得其中仅有有限项非零。但是我们在实践上总是用变元X及其幂次表达。

以下固定环 R，我们将推广初等数学中熟悉的多项式运算。

多项式的加法由系数逐项相加定义，而乘法则由下列法则唯一地确定：

分配律：对所有R上的多项式，恒有

当 R 是交换环时，R[X] 是个 R 上的代数。

设而Q(X) 为另一多项式，则可定义两者的合成为

对于任一多项式及，我们可考虑 P(X) 对r的求值：

固定，则得到一个环同态，称作求值同态；此外它还满足

在微积分中，多项式的微分由微分法则确定。虽然一般的环上既无拓扑结构更无完备性，我们仍然可形式地定义多项式的导数为：

这种导数依然满足与等性质。对于系数在域上的多项式，导数也可以判定重根存在与否。

上述定义可以推广到任意个变元（包括无限个变元）的情形。对于有限变元的多项式环，也可以采下述构造：

先考虑两个变元 X,Y 的例子，我们可以先构造多项式环R[X]，其次构造。可以证明有自然同构，例如多项式

对亦同。超过两个变元的情形可依此类推。

若R是交换环，则R[X]亦然。

若R是唯一因子分解环，则R[X]亦然。

若R是整环，则R[X]亦然。

希尔伯特基定理：若R是诺特环，则R[X] 亦然。由归纳法可知，对任意正整数n，亦然。

任一个交换环R上的有限生成代数皆可表成某个的商环。

多项式环对理想的商是构造环的重要技术。例子包括从同余系构造有限域，或从实数构造复数等等。

弗罗贝尼乌斯多项式是另一个跟多项式环相关的环，此环的乘法系采用多项式的合成而非乘法。